Meccanica quantistica/Concetti fondamentali

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Funzione d'onda[modifica]

Nella meccanica classica il comportamento di un sistema avente coordinate q è descritto dalla funzione q(t)', nota come legge oraria del moto. Tale funzione è la soluzione dell'Equazione del moto del sistema (ad esempio la seconda legge di Newton). Nella meccanica quantistica lo stato di un sistema è descritto da una funzione d'onda Ψ(q,t) complessa che è ottenuta risolvendo l'Equazione di Schrödinger.

Interpretazione statistica[modifica]

Mentre l'equazione del moto della meccanica classica fornisce direttamente le informazioni sul comportamento di un sistema nel tempo in termini delle sue coordinate q, per la meccanica quantistica è possibile solo una descrizione statistica del sistema a partire dalla funzione d'onda. Ciò significa che se Ψ(q,t) è la funzione d'onda che descrive lo stato del sistema, si avrà che

è la probabilità che le coordinate assumano valori tra q e q + dq all'istante di tempo t. In altre parole,

è la funzione densità di probabilità delle coordinate q all'istante t. In virtù di questa interpretazione, è necessario quindi che la Ψ sia normalizzata:

dove Q è lo spazio delle coordinate q (l'integrale è da intendersi nel senso di Lebesgue). Ciò significa che le funzioni d'onda devono in generale essere funzioni "a quadrato integrabili" perché siano normalizzabili mediante moltiplicazione per una costante.

Operatori[modifica]

In meccanica quantistica un operatore è una trasformazione lineare applicabile ad una funzione d'onda. Gli operatori della meccanica quantistica sono composizioni di somme, prodotti e derivazioni rispetto alle coordinate o al tempo. Ad ogni grandezza fisica della meccanica classica è associato un operatore hermitiano (o autoaggiunto). Dato un insieme di sistemi tutti nello stato , a causa dell'interpretazione statistica ogni misura della stessa grandezza (a cui è associato l'operatore ) può dare un risultato diverso. Tuttavia il valore di aspettazione di queste misure può essere calcolato a partire da  :

Poiché gli operatori associati ad una grandezza fisica sono hermitiani, per definizione

quindi , cioè i valori di aspettazione delle misure delle grandezze fisiche sono reali. Gli operatori più importanti sono ovviamente l'operatore posizione:

e l'operatore quantità di moto:

Se è una grandezza dinamica il suo operatore associato è ricavabile dai due operatori posizione e momento, sostituendone le occorrenze nella definizione di . Ad esempio, l'energia cinetica

è rappresentata dall'operatore

Notazione bra-ket[modifica]

Fase di sviluppo: 00% (al 28 marzo 2008) (28 marzo 2008)

Autovalori ed autofunzioni[modifica]

Spettro discreto[modifica]

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza con uno spettro discreto:

Spettro continuo[modifica]

Sviluppo della funzione d'onda in autofunzioni di una grandezza con uno spettro continuo:

Operatore impulso[modifica]

Operatore dell'impulso di una particella:

Regole di commutazione tra le componenti dell'impulso e le coordinate:

Relazioni di indeterminazione:

Il valore minimo dell'indeterminazione è , e si ottiene per pacchetti d'onda di forma gaussiana.

Operatore hamiltoniano[modifica]

Operatore hamiltoniano di un sistema quantistico:

Gli autovalori dell'hamiltoniano di un sistema isolato sono i livelli energetici . A questi valori corrispondono gli stati stazionari del sistema. Le funzioni d'onda degli stati stazionari variano nel tempo nel modo seguente:

Lo stato fondamentale corrisponde al valore minimo dell'energia che il sistema può assumere.

A un livello degenere corrispondono diversi stati stazionari. Se gli operatori di due grandezze conservative non commutano tra loro, i livelli energetici sono necessariamente degeneri.

Matrici[modifica]

Gli elementi di matrice di una grandezza sono definiti dallo sviluppo delle funzioni secondo le autofunzioni dell'energia:

Gli elementi diagonali sono i valori medi della grandezza negli stati

Elementi di matrice dipendenti dal tempo: