Meccanica quantistica/Formalismo

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Introduzione allo spazio di Hilbert[modifica]

Uno spazio di Hilbert è uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno e completo rispetto alla sua norma. Lo spazio di Hilbert che si utilizza per la meccanica quantistica è il cosiddetto spazio , che è un caso particolare di spazio di Hilbert, di cui segue una descrizione semplificata. Sia una funzione da a [1]. La funzione appartiene allo spazio se:

[2]

è un numero (reale) finito (si dice cioè che è a quadrato integrabile). Se appartiene a , tale quantità si dice norma di . La funzione si dice normalizzata se la sua norma è unitaria. Il prodotto interno (o scalare) dello spazio tra due funzioni e è

[3]

Se il prodotto scalare tra due funzioni è nullo, tali funzioni si dicono ortogonali.

Notazione bra-ket[modifica]

La notazione bra-ket è stata introdotta da Dirac per rappresentare in modo più compatto e leggero le funzioni utilizzate in meccanica quantistica. Se appartiene allo spazio , la si può indicare con la notazione (detta ket). La notazione (detta bra) corrisponde all'operatore

per cui si avrà:

che è la norma di e

è il prodotto scalare tra e .

Applicazione alla meccanica quantistica[modifica]

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Note[modifica]

  1. In generale, la funzione può non essere definita su tutto , tuttavia in meccanica quantistica le funzioni d'interesse lo sono.
  2. L'integrazione è da intendersi secondo Lebesgue
  3. L'asterisco indica il complesso coniugato.