Operatore del momento angolare di una particella:
![{\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}=-i\hbar \mathbf {r} \times \nabla }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b4226484b7d572069005a89c9bf4314ec1cccdc)
Autovalori del quadrato del momento angolare:
![{\displaystyle \mathbf {L} ^{2}=\hbar ^{2}l(l+1)\qquad (l=0,1,...)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24b960806104f0fbfcb14eeba8f8667abd32a698)
Autovalori della componente z del momento angolare:
![{\displaystyle L_{z}=\hbar m\qquad (m=-l,-l+1,...,l)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ec199c679cb6be20c0e9c9aa749a603fa619016)
Le autofunzioni comuni agli operatori
e
sono le armoniche sferiche,
.
Funzione d'onda di un sistema di due particelle con momenti angolari
e
:
![{\displaystyle \psi _{lm}=\sum C_{m_{1}m_{2}}^{lm}\psi _{l_{1}m_{1}}^{(1)}\psi _{l_{2}m_{2}}^{(2)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1062a2e6aca713c6af8df6956a80392c7c974c89)
Le quantità
sono i coefficienti di Clebsch-Gordan.
Il momento angolare l può assumere soltanto dei valori compresi tra
e
, e
.
Un tensore sferico è un insieme di quantità
che nelle rotazioni si trasformano come le funzioni armoniche sferiche
.
A un tensore sferico
corrisponde un tensore simmetrico
irriducibile di rango k. In particolare, a un tensore sferico
corrisponde un vettore f:
![{\displaystyle f_{10}=if_{z},\qquad f_{1,\pm 1}=\mp {\frac {i}{\sqrt {2}}}(f_{x}\pm if_{y})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d85431b2eabb6440d8a6fe588d509bc300ad5865)
Gli elementi di matrice di un tensore sferico
hanno la forma seguente:
![{\displaystyle <n'l'm'|f_{kq}|nlm>=\sum C_{m'q}^{lm}<n'l'||f_{k}||nl>}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3706e6c0039823f20660d61d48a9597b55fc202)
dove
sono gli elementi di matrice ridotti, indipendenti da
,
e
.
Per
si ottengono delle espressioni per gli elementi di matrice di un vettore f.
Gli elementi di matrice non nulli di
corrispondono a delle transizioni
, e gli elementi di matrice di
e
a delle transizioni
.
Il momento angolare totale
di una particella è composto dal momento orbitale
e dallo spin
.
Il quadrato dello spin ha autovalori
, dove
può essere un numero intero o semintero.
La componente z dello spin ha autovalori
, dove
.
Nel caso di una particella con spin 1/2 (ad esempio un elettrone)
, dove
è l'insieme delle matrici di Pauli:
![{\displaystyle {\widehat {\sigma }}_{x}=\left({\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}}\right),\qquad {\widehat {\sigma }}_{y}=\left({\begin{array}{cc}0&-i\\i&0\end{array}}\right),\qquad {\widehat {\sigma }}_{z}=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b1844040caeb2492f9e37f857c8a9ef33dbd812)