Propulsione aerea/Capitolo II°

Azione e reazione

Il 3° principio della Meccanica afferma che ad ogno azione corrisponde una reazione uguale e contraria; cioè le forze che si esrcitano tra due parti di un sistema sono sempre uguali e dirette in senso contrario. Azione e reazione sono sostantivi scambiabili tra loro dal punto di vista della meccanica: la scelta dell'uno e dell'altro è un atto soggettivo nei confronti del fenomeno considerato; per esempio un gas racchiuso entro un recipiente agisce sulle pareti, queste reagiscono a loro volta sul gas; dal punto di vista della meccanica si può dire che le pareti agiscono sul gas e che questo reagisce sulle pareti. Il fatto non cambia se il recipiente è aperto, come per esempio nei razzi e nei reattori, o anche se addirittura si tratta delle mutue azioni di una massa gassosa e di un corpo immerso in esso, come per esempio avviene per un'ala in moto entro un gas; le azioni e le reazioni, nei casi considerati, si esercitano tramite lo stesso sistema di pressioni agenti sulle superfici che delimitano le due parti.

Il 3° principio domina tutti i fenomeni fisici dell'universo; dai più semplici e banali dell'esperienza di ogni giorno ai più grandiosi, interessanti i fatti astronomici.

Quantità di moto e momento della quantità di moto

Si rammenti il teorema generale della dinamica: la derivata rispetto al tempo del risultante della quantità di moto di un insieme di masse è uguale al risultante delle forze esterne agenti sull'insieme stesso.

Per definizione quantità di moto di una massa m è il vettore $\ m{\vec {V}}$.

Per un corpo di massa m si ha allora la notissima

$\ {\frac {d(m{\vec {V}})}{dt}}=m{\frac {d{\vec {V}}}{dt}}=m\ {\vec {a}}={\vec {F}}$

con a accelerazione (vettore) risultante di quella tangenziale

${\frac {d{\vec {V}}}{dt}}$

e di quella normale o centripeta

${\frac {V^{2}}{R}}$

R raggio di curvatura in atto della traiettoria del c.g. della massa m; il vettore F, risultante delle forze esterne agenti sul corpo, è l'azione; la reazione R_e=-F agisce sull'altra parte del sistema considerato.

A chiarimento si possono portare gli esempi del sistema cannone-proiettile e della fionda oltre quelli già accennati del gas e del recipiente. Nel primo sistema, composto del proiettile e del cannone ove si trascuri la piccola massa della carica, all'atto dello sparo il proiettile è spinto dalla forza F risultante delle pressioni dovute ai gas della carica agenti sul fondo; il cannone è spinto per verso oppostodalla forza F=-F dovuta alle stesse pressioni del gas agenti sul fondo della canna. Nella fionda la forza F è quella centripeta dovuta al filo di vincolo; la R_e=-F è la reazione agente sulla mano attraverso lo stesso filo.

Per quanto detto può scambiarsi R_e con F.

Il teorema della quantità di moto è anche valido, naturalmente, per masse fluide in moto; necessità però una formulazione adeguata.

Allo scopo si consideeri un tubicino di flusso , la superficie che delimita il tubicino può essere fluida, cioè definita dai filetti fluidi di contorno, o rigida (fig.2).

Supposgto il moto permanente ( cioè invariabile nel tempo il vettore V, ma variabile da posto a posto) la portata che attraversa una sezione generica è costante e vale ρ Ω V; ρ, Ω, V sono la densità, l'area della sezione e la velocità nel posto considerato.

Si supponga il tubicino decomposto in elementi tramite piani normali alla direzione della velocità locale e si consideri la massa di un generico elemento, delimitato da due piani molto vicini. Se d_s=V dt è l'altezza media dell'elemento di base Ω si ha dm = ρ Ω V dt:

$\ {\dot {m}}=\rho \Omega V$

è la portata massica. Le forze agenti sull'elemento, supposto isolato, provengono dalle pressioni distgribuite su tutta la superficie che delimità l'elemento e dalla gravità. Supposta trascurabile la forza di gravità rispetto alle pressioni, conviene distinguere tra le forze dovute ale pressioni trasmesse dalle pareti del tubo di flusso e quelle dovute alle masse contigue del fluido dello stesso tubicino.

Sia $\ d{\vec {F}}$ il risultante delle prime e $\ ({\vec {P}}+d{\vec {P}})-{\vec {P}}$ il risultante delle seconde, differenza vettoriale delle forze agenti sulle due facce; il teorema fondamentale della dinamica F=ma permette di scrivere

$\ {\dot {m}}d{\vec {V}}=d{\vec {F}}-d{\vec {P}}$

Per ogni elemento può scriversi una relazione analoga; facendo la somma vettoriale (al limite l'integrale) si ottiene in termini finiti

$\ {\dot {m}}({\vec {V}}_{2}-{\vec {V}}_{1})={\vec {F}}-({\vec {P}}_{2}-{\vec {P}}_{1})$

od ancora

$\ {\vec {F}}=({\dot {m}}{\vec {V}}_{2}+P_{2})-({\dot {m}}{\vec {V}}_{1}+{\vec {P}}_{1}$

formula fondamentale della dinamica dei fluidi e della quale sarà fatto ampio impiego.

Pochè i vettori $\ {\vec {V}}$ e $\ {\vec {P}}$ sono paralleli, dalla composizione vettoriale segnata in fig.2 si ottiene la loro differenza $\ {\vec {F}}$, cioè l'azione che le pareti del condotto esercitano sul fluido. Il vettore$\ {\vec {R}}=-{\vec {F}}$ è la reazione del condotto esercitata dal fluido.

Se p₁ e p₂ sono le pressioni del fluido nelle sezioni 1 e 2 e se con p₀ si indica la pressione ambiente si ha

$\ P_{1}=(p_{1}-p_{0})\Omega _{1},\qquad P_{2}=(p_{2}-p_{0})\Omega _{2}$

la pressione p₀ può essere eventualmente nulla. Se il fluido alle estremità del condotto ha la pressione uguale a quella ambiente,

$\ (10')\qquad {\vec {F}}=({\vec {V}}_{2}-{\vec {V}}_{1}).$

Per condotto ad asse rettilineo le differenze vettoriali divengono differenze algebriche.

Se il fluido esce da un serbatoio, poiché la velocità iniziale V₁ è pressocheè nulla,

$\ (10'')\qquad F={\dot {m}}V_{2}+P_{2}={\dot {m}}V_{2}+(p_{e}-p_{0})\Omega _{e}$

con V_e velocità di eflusso, p_e pressione nella sezione Ω_e di eflusso.

Entro il condotto possono esistere dispositivi meccanici o termici che impartiscono al fluido energia (un'elica per esempio), energia che viene comunicata mediante incrementi di pressioni evidentemente.

In tal caso la $\ {\vec {F}}$ è l'azione totale proveniente dalle pareti del condotto e dalle superficie del dispositivo meccanico o termico.

Un corpo in generale è assoggettato oltre che ad una forza ad un aumento; le considerazioni precedenti possono essere estese per calcolare il momento delle azioni rispetto ad un asse e si hanno momenti dovuti alle quantità di moto e momenti dovuti alle forze P.

Esempi significativi

In seguito sarà fatto esteso impiego dei concetti esposti avanti.

Per una migliore comprensione immediata si ritiene opportuno riportare alcuni esempi significativi per la fluidodinamica.

Si considerino il recipiente di fig.3 munito di ugello di riflusso (schema del razzo) ed il condotto ad asse rettilineo aperto alle estremità (schema dell'autoreattore)) fig.4.

Il fluido esercita sulle pareti interne pressioni sostanzialmente normali alla superficie; le componenti normali all'asse sono in equilibrio, cioè non ammettono risultante normale all'asse, mentre le componenti assiali, non equilibrate, imprimono la spinta al corpo. Per calcolarla necessiterebbe fare l'integrazione delle componenti assiali delle forze elementari dovute alle pressioni; però non vi è necessità di operazione, concettualmennte semplice anche se effettivamente noiosa, perché il teorema delle quantità di moto ci permette l'immediata valutazione della spinta. Nel primo caso m' V_e. Nel secondo m' (V_e-V)=m' ΔV; l'incremento ΔV è dovuto come vedremo all'apporto di calore; si sono ammesse nulle le forze P₁ e P₂. Se per ipotesi l'espansione non è completa, cioè non arriva sino alla pressione p₀ necessita aggiungere il contributo delle pressioni; al contrario accade se l'espansione è fatta avvenire al disotto del valore p₀.

Si consideri per esempioil sistema formato dalle due pale di un rotore di elicottero azionato mediante due autoreattori (fig.5).

Se Ω è la sezione di imbocco di un reattore, ρ la densità, V=ωR la velocità periferica, la coppia per il teorema del momento della quantità di moto è

$\ M=2\ m'\ \Delta V\ R=2\ \rho \ \Omega \ \omega \ \mathbb {R} ^{2}\ \Delta V$

Altro esempio è costituito dal vasno tra due palette di una turbina (/fig.6).

Altro esempio significativo è fornito da un corpo resistente immerso in una corrente (fig.7): per esempio un'ala.

Si prendano due piani di riferimento S₁ ed S₂.

Se dm^'/dS è il flusso locale si ha, per l'azione del fluido,

$\ \int _{S_{2}}^{}\left({\frac {dm'}{dS_{2}}}V_{2}+P_{2}\right)dS-\int _{S_{1}}^{}\left({\frac {dm'}{dS_{1}}}V_{1}+P_{1}\right)dS$

Il vettore R=-F è la resistenza del corpo. Se i piani di riferimento S₁ ed S₂ sono sufficientermente lontani dal corpo allorsa P₁≅P₂ ed

$\ \int _{S}^{}{\frac {dm'}{dS}}(V_{2}-V_{1})dS$

Basta misurare sperimentalmente le differenze (V₂-V₁) con manometri per risalire alla resistenza che è dovuta al frenamento della corrente a causa della viscosità del fluido.

Circolazione e quantità di moto

Altro esempio caratteristico che richiede un'impostazione particolare è quello della portanza. Si consideri una corrente indefinita traslatoria di velocità uniforme V.

Se questa corrente investe un corpo (un'ala per esempio di allungamento infinito), i filetti fluidi, rettilinei e paralleli in assenza del corpo, vengono deformati ed in ogni punto la velocità V viene incrementata vettorialmente (fig.8).

fiura 8

E' noto che per un'ala in assetto portante si verificano aumenti della velocità dalla parte del dorso, diminuzione dalla parte del ventre. La presemnza dell'ostacolo ha quindi l'effetto di far variare la quantità di moto di ogni particella fluida. Si intuisce che, a norma del teorema della quantità di moto, deve esercitarsi sulla corrente un'azione cui deve corrispondere una reazione uguale e contraria; questa reazione è la portante P dell'ala. Poiché le velocità variano da punto a punto entro il campo aerodinamico, sarebbe praticamente inabbordabile il calcolo dell'azione nel modo consueto. L'aerodinamica teorica coi suoi metodi però ci mostra che la portanza P per unità di apertura dell'ala può facilmente esprimersi con la formula:

$\ P=\rho \ V\ I$

con ρ e V, densità e velocità del fluido non disturbato; il simbolo I è la cosiddetta circuitazione o circolazione della velocità data da

$\ \int _{}^{}{\vec {V}}\ {\vec {d}}s$

cioè dell'integrale, esteso a tutta una qualsiasi linea chiusa racchiudente l'ostacolo, del prodotto scalare del vettore velocità locale e del vettore ds;

$\ {\vec {V}}\ {\vec {d}}s=V\ ds\ \cos {\alpha }$

é il prodotto scalare delle due quantità. Il vettore P è perpendicolare alla direzione della corrente che investe l'ala.

La semplice formula precedente, detta di Kutta-Joukowski è in fondo un aspetto particolare del teorema della quantità di moto valido per il fatto fisico esaminato; la quantità I ha infatti le dimensioni di una portata massica per unità di apertura alare.

La portanza è dovuta in concreto al risultante delle pressioni agenti sulla superficie dell'ala; la reazione di tutta la massa d'aria, uguale ed opposta alla portanza, è dovuta all'effetto della distribuzione delle pressioni (di verso contrario a quelle dell'ala) sulla superficie ideale fluida di confine dell'aria con l'ala.

Maggiori chiarimenti sul comportamento dell'ala di apertura infinita e finita sono dati negli studi di Aerodinamica.