Algebra 1/Calcolo Letterale/Monomi: differenze tra le versioni

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m (sistemata formattazione tabella)
== L’insieme dei monomi ==
 
{{Algebra1/Definizione| Un’espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama ''monomio''. }}
D’ora in poi quando scriveremo un’espressione letterale in cui compare l’operazione di moltiplicazione, tralasceremo il puntino fin qui usato per evidenziare l’operazione. Così l’espressione <math>5\cdot a^{2}+\frac{3}{8}\cdot a\cdot b-7\cdot b^{2}</math> verrà scritta in modo più compatto <math>5a^{2}+\frac{3}{8}ab-7b^{2}</math>.
 
{{Algebra1/Esempio1| L’espressione nelle due variabili <math>a</math> e <math>b</math>, <math>E=5\cdot 2a^{2}\tfrac{3}{8}ab7b^{2}</math> è un monomio perché numeri e lettere sono legate solo dalla moltiplicazione. }}
{{Algebra1/Definizione|
 
{{Algebra1/Esempio1| L’espressione <math>E=2a^{2}-ab^{2}</math> non è un monomio poiché compare anche il segno di sottrazione. }}
Una espressione letterale in cui numeri e lettere sono legati dalla sola moltiplicazione si chiama ''monomio''.
}}
 
{{Algebra1/Osservazione| Gli elementi di un monomio sono ''fattori'', perché sono termini di una moltiplicazione ma possono comparire anche ''potenze'', infatti la potenza è una moltiplicazione di fattori uguali. Non possono invece comparire esponenti negativi o frazionari. In un monomio gli esponenti delle variabili devono essere numeri naturali.}}
{{Algebra1/Esempio|
 
{{Algebra1/Definizione| Un monomio si dice ''ridotto in forma normale'' quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali con basi diverse. }}
L’espressione nelle due variabili <math>a</math> e <math>b</math>, <math>E=5\cdot 2a^{2}\frac{3}{8}ab7b^{2}</math> è un monomio perché numeri e lettere sono legate solo dalla moltiplicazione.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Il monomio <math>E=5\cdot 2a^{2}\tfrac{3}{8}ab7b^{2}</math> non è scritto in forma normale: tra i suoi fattori vi sono numeri diversi e le potenze letterali hanno basi ripetute, la <math>a</math> e la <math>b</math> compaiono due volte ciascuna.
{{Algebra1/Esempio|
 
Moltiplichiamo tra loro i fattori numerici e otteniamo <math>\tfrac{105}{4}</math>; eseguiamo il prodotto di potenze con la stessa base otteniamo <math>a^{3}b^{3}</math>. Il monomio in forma normale è <math>E=\tfrac{105}{4}a^{3}b^{3}</math>. }}
L’espressione <math>E=2a^{2}-ab^{2}</math> non è un monomio poiché compare anche il segno di sottrazione.
}}
 
{{Algebra1/Procedura| Ridurre in forma normale un monomio:
{{Algebra1/Osservazione|
 
Gli elementi di un monomio sono ''fattori'', perché sono termini di una moltiplicazione ma possono comparire anche ''potenze'', infatti la potenza è una moltiplicazione di fattori uguali. Non possono invece comparire esponenti negativi o frazionari. In un monomio gli esponenti delle variabili devono essere numeri naturali.
}}
 
# moltiplicare tra loro i fattori numerici;
{{Algebra1/Definizione|
# moltiplicare le potenze con la stessa base.
 
Un monomio si dice ''ridotto in forma normale'' quando è scritto come prodotto di un solo fattore numerico e di potenze letterali con basi diverse.
}}
 
{{Algebra1/Definizione| La parte numerica del monomio ridotto a forma normale si chiama ''coefficiente'' e il complesso delle lettere ne costituisce la ''parte letterale''. }}
{{Algebra1/Esempio|
 
{| style="background:white;width:95%;margin:auto;border:1px solid #EBEBEB;padding:20px 10px 20px 10px;" align=center
Il monomio <math>E=5\cdot 2a^{2}\frac{3}{8}ab7b^{2}</math> non è scritto in forma normale: tra i suoi fattori vi sono numeri diversi e le potenze letterali hanno basi ripetute, la <math>a</math> e la <math>b</math> compaiono due volte ciascuna.
|-
 
|<b style="color: #926158">Esempio</b>: Nella tabella seguente sono segnati alcuni monomi con i rispettivi coefficienti e parti letterali.
Moltiplichiamo tra loro i fattori numerici e otteniamo <math>\frac{105}{4}</math>; eseguiamo il prodotto di potenze con la stessa base otteniamo <math>a^{3}b^{3}</math>. Il monomio in forma normale è <math>E=\frac{105}{4}a^{3}b^{3}</math>.
}}
 
{{Algebra1/Procedura|
title=Ridurre in forma normale un monomio:|
 
* moltiplicare tra loro i fattori numerici;
* moltiplicare le potenze con la stessa base.
}}
 
{{Algebra1/Definizione|
 
La parte numerica del monomio ridotto a forma normale si chiama ''coefficiente''.
}}
 
{{Algebra1/Esempio|
 
Nella tabella seguente sono segnati alcuni monomi e i rispettivi coefficienti.
}}
 
{| style="margin:auto; border-top: 1px solid #000; border-bottom: 1px solid #000; width: 30%; text-align: center;"
|monomio
|<math>-{\frac{1}{2}}abc</math>
|<math>3x^{3}y^{5}</math>
|<math>a^{5}b^{7}</math>
|<math>-k^{2}</math>
|-
|
|coefficiente
{| style="border-top:1px solid black; border-bottom:1px solid black;text-align:center; background:white;" align="center" width="50%" border="0" cellspacing="0"
|<math>-{\frac{1}{2}}</math>
|monomio
|<math>3</math>
|<math>-{\tfrac{1}{2}}abc</math>
|<math>-13x^{3}y^{5}</math>
|<math>a^{5}b^{7}</math>
|<math>-k^{2}</math>
|-
|coefficiente
|<math>-{\tfrac{1}{2}}</math>
|<math>3</math>
|<math>1</math>
|<math>-1</math>
|}
|}
 
{{Algebra1/Definizione| Se il coefficiente del monomio è zero il ''monomio'' si dice ''nullo''. }}
 
{{Algebra1/Esempio1| L’espressione letterale <math>\tfrac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> è un monomio; il numero <math>\tfrac{3}{5}</math> e le lettere <math>a^{3}</math>, <math>b</math>, <math>c^{2}</math> sono legate dall’operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero <math>\tfrac{3}{5}</math> e la parte letterale è <math>a^{3}bc^{2}</math>. }}
Se il coefficiente del monomio è zero il ''monomio'' si dice ''nullo''.
 
{{Algebra1/Esempio1| Controesempi:
Il complesso delle lettere che compaiono nel monomio ridotto a forma normale ne costituisce la ''parte letterale''.
}}
 
# l’espressione letterale <math>\tfrac{3}{5}a^{3}+bc^{2}</math> non è un monomio dal momento che numeri e lettere sono legati, oltre che dalla moltiplicazione, anche dall’addizione;
{{Algebra1/Esempio|
# l’espressione letterale <math>\tfrac{3}{5}a^{-3}bc^{2}</math> non è un monomio in quanto la potenza con esponente negativo rappresenta una divisione, infatti <math>a^{-3}=\tfrac{1}{a^{3}}</math>.
 
L’espressione letterale <math>\frac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> è un monomio; il numero <math>\frac{3}{5}</math> e le lettere <math>a^{3}</math>, <math>b</math>, <math>c^{2}</math> sono legate dall’operazione di moltiplicazione; il suo coefficiente è il numero <math>\frac{3}{5}</math> e la parte letterale è <math>a^{3}bc^{2}</math>.
}}
 
{{Algebra1/Definizione| Due o più monomi che hanno parte letterale identica si dicono ''simili''. }}
{{Algebra1/Esempio|
title=Controesempi:|
 
{{Algebra1/Esempio1| Il monomio <math>\tfrac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> è simile a <math>68a^{3}bc^{2}</math> e anche a <math>-0,5a^{3}bc^{2}</math>, ma non è simile a <math>\tfrac{3}{5}a^{2}bc^{3}</math>. L’ultimo monomio ha le stesse lettere degli altri ma sono elevate ad esponenti diversi. }}
* l’espressione letterale <math>\frac{3}{5}a^{3}+bc^{2}</math> non è un monomio dal momento che numeri e lettere sono legati oltre che dalla moltiplicazione anche dalla addizione;
* l’espressione letterale <math>\frac{3}{5}a^{-3}bc^{2}</math> non è un monomio in quanto la potenza con esponente negativo rappresenta una divisione, infatti <math>a^{-3}=\frac{1}{a^{3}}</math>.
}}
 
{{Algebra1/Osservazione| Il monomio nullo si considera simile a qualunque altro monomio.}}
{{Algebra1/Definizione|
 
Due{{Algebra1/Definizione| o piùDue monomi simili che hanno partecoefficiente letterale identicaopposto si dicono ''similimonomi opposti''. }}
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| I monomi <math>\tfrac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> e <math>-{\tfrac{3}{5}}a^{3}bc^{2}</math> sono opposti, infatti sono simili e hanno coefficienti opposti. }}
{{Algebra1/Esempio|
 
Il{{Algebra1/Esempio1| Non sono opposti monomio <math>\fractfrac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> è simile a <math>68a^{3}bc^{2}</math> e anche a <math>-0,5a7a^{3}bc^{2}</math>, ma nonsemplicemente è simile a <math>\frac{3}{5}a^{2}bc^{3}</math>simili. L’ultimoI monomioloro hacoefficienti lehanno stessesegno letterediverso, deglima altri manon sono elevatenumeri ad esponenti diversiopposti. }}
}}
 
{{Algebra1/Definizione| Quando il monomio è ridotto a forma normale, l’esponente di una sua variabile ci indica il ''grado'' del monomio ''rispetto a quella variabile''.
{{Algebra1/Osservazione|
 
Il ''grado complessivo'' di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale. }}
Il monomio nullo si considera simile a qualunque altro monomio.
}}
 
{{Algebra1/Esempio1| Il monomio <math>\tfrac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> ha grado complessivo 6, ottenuto sommando gli esponenti della sua parte letterale <math>(3+1+2=6)</math>. Rispetto alla variabile <math>a</math> è di terzo grado, rispetto alla variabile <math>b</math> è di primo grado, rispetto alla variabile <math>c</math> è di secondo grado. }}
{{Algebra1/Definizione|
 
Abbiamo detto che gli esponenti della parte letterale del monomio sono numeri naturali, dunque possiamo anche avere una o più variabili elevate ad esponente 0. Cosa succede allora nel monomio?
Due monomi simili che hanno coefficiente opposto si dicono ''monomi opposti''.
}}
 
Consideriamo il monomio <math>56a^{3}b^{0}c^{2}</math>, sappiamo che qualunque numero diverso da zero elevato a zero è uguale a 1, quindi possiamo sostituire la variabile <math>b</math> che ha esponente 0 con 1 e otteniamo <math>56a^{3}\cdot 1\cdot c^{2}=56a^{3}c^{2}</math>. Se in un monomio ogni variabile ha esponente 0, il monomio rimane solamente con il suo coefficiente numerico: per esempio <math>-3a^{0}x^{0}=-3\cdot 1\cdot 1=-3</math>.
{{Algebra1/Esempio|
 
{{Algebra1/Osservazione| Esistono ''monomi di grado 0''; essi presentano solo il coefficiente e pertanto ''sono'' equiparabili ai ''numeri razionali''.}}
I monomi <math>\frac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> e <math>-{\frac{3}{5}}a^{3}bc^{2}</math> sono opposti, infatti sono simili e hanno coefficienti opposti.
}}
 
{{Algebra1/Esempio|
 
Non sono opposti <math>\frac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> e <math>-7a^{3}bc^{2}</math> ma semplicemente simili. I loro coefficienti hanno segno diverso, ma non sono numeri opposti.
}}
 
{{Algebra1/Definizione|
 
Il ''grado complessivo'' di un monomio è la somma degli esponenti della parte letterale.
 
Quando il monomio è ridotto a forma normale, l’esponente di una sua variabile ci indica il ''grado'' del monomio ''rispetto a quella variabile''.
}}
 
{{Algebra1/Esempio|
 
Il monomio <math>\frac{3}{5}a^{3}bc^{2}</math> ha grado complessivo 6, ottenuto sommando gli esponenti della sua parte letterale <math>(3+1+2=6)</math>. Rispetto alla variabile <math>a</math> è di terzo grado, rispetto alla variabile <math>b</math> è di primo grado, rispetto alla variabile <math>c</math> è di secondo grado.
}}
 
Abbiamo detto che gli esponenti della parte letterale del monomio sono numeri naturali, dunque possiamo anche avere una o piùvariabili elevate ad esponente 0. Cosa succede allora nel monomio?
 
Consideriamo il monomio <math>56a^{3}b^{0}c^{2}</math>, sappiamo che qualunque numero diverso da zero elevato a zero è uguale a 1, quindi possiamo sostituire la variabile <math>b</math> che ha esponente 0 con 1 e otteniamo <math>56a^{3}\cdot 1\cdot c^{2}=56a^{3}c^{2}</math>. Se in un monomio ogni variabile ha esponente 0, il monomio rimane solamente con il suo coefficiente numerico: per esempio <math>-3a^{0}x^{0}=-3\cdot 1\cdot 1=-3</math>.
 
{{Algebra1/Osservazione|
 
Esistono ''monomi di grado 0''; essi presentano solo il coefficiente e pertanto ''sono'' equiparabili ai ''numeri razionali''.
}}
 
== Valore di un monomio ==
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