Algebra 1/Vettori e funzioni circolari/Vettori

Prime definizioni

Sappiamo che due punti $A$ e $B$ presi su una retta $a$ determinano il segmento $b$ di estremi $A$ e $B$; fissiamo su di esso un verso di percorrenza, per esempio da $A$ verso $B$.

Definizione: Il segmento orientato di estremi $A$ e $B$ si chiama vettore; esso viene indicato con ${\overrightarrow {AB}}$ oppure con ${\vec {u}}$; il punto $A$ è il primo estremo e $B$ il secondo estremo.

Un vettore libero è caratterizzato da tre elementi:

• la direzione indicata dalla retta su cui esso giace;
• il verso indicato dalla punta della freccia che dal primo estremo va al secondo estremo;
• il modulo o intensità, uguale alla misura del segmento $AB$: scriveremo $|{\vec {u}}|={\overline {AB}}$ e leggeremo “il modulo del vettore ${\vec {u}}$ è uguale alla misura del segmento $AB$”.

Un vettore applicato è caratterizzato, oltre che dai tre elementi suddetti, anche dal punto di applicazione, ovvero il punto da cui parte la freccia, chiamato anche primo estremo del vettore.

Esempio:

I due vettori ${\overrightarrow {AB}}$ e ${\overrightarrow {DC}}$ nella figura appartengono alla stessa retta, quindi hanno stessa direzione, verso opposto e modulo diverso.

Direzione, verso e modulo di un vettore

Esempio:

I due vettori ${\overrightarrow {AB}}$ e ${\overrightarrow {DC}}$ in figura [fig:F.2] appartengono a rette parallele, quindi hanno stessa direzione. I loro versi sono opposti e hanno uguale intensità: essi si chiamano vettori opposti e scriveremo ${\overrightarrow {AB}}=-{\overrightarrow {DC}}$.

Vettori opposti

Esempio:

I due vettori ${\overrightarrow {AB}}$ e ${\overrightarrow {CD}}$ in figura [fig:F.3] appartengono a rette parallele, quindi hanno stessa direzione. Hanno lo stesso verso e uguale intensità: essi si chiamano equipollenti e scriveremo ${\overrightarrow {AB}}\equiv {\overrightarrow {CD}}$.

Vettori equipollenti

Componenti di vettori

Osserviamo che un vettore può essere interpretato come uno spostamento dal primo estremo al secondo estremo, avente la direzione della retta cui appartiene il vettore stesso nel verso indicato dalla freccia. Nel piano dotato di riferimento cartesiano ortogonale è rappresentato il vettore ${\vec {u}}={\overrightarrow {AB}}$ avente il primo estremo nel punto $A(-2;1)$ e il secondo estremo in $B(1;2)$. Per andare da $A$ a $B$ si possono compiere diversi percorsi: possiamo procedere sul vettore ${\vec {u}}$ oppure possiamo scegliere di compiere due spostamenti particolari, uno parallelo all’asse $x$ e l’altro parallelo all’asse $y$. In tal modo si determina il punto $C(1;1)$ come “tappa intermedia” per raggiungere $B$: ci spostiamo sul vettore ${\overrightarrow {AC}}$ e poi da $C$ sul vettore ${\overrightarrow {CB}}$.

Definizione: Chiamiamo componenti del vettore ${\overrightarrow {AB}}$ le misure con segno dei segmenti $AC$ e $CB$ paralleli a quelli degli assi coordinati, con la precisazione di assegnare il segno $+$ alle misure dello spostamento avente lo stesso verso degli assi coordinati e segno $-$ se il verso è opposto a quello degli assi coordinati.

Nella figura precedente figura le componenti del vettore assegnato sono positive in quanto sia lo spostamento orizzontale che quello verticale avvengono nello stesso verso degli assi coordinati. Scriveremo ${\overrightarrow {AB}}(+3;+1)$. Tutti i vettori del piano cartesiano di componenti $(+3;+1)$ sono equipollenti a ${\overrightarrow {AB}}$. Ciò che li distingue in modo univoco è il loro punto di applicazione.

Esempio:

Il vettore ${\vec {z}}$ della figura ha componenti entrambe negative poiché lo spostamento orizzontale e quello verticale avvengono in verso contrario rispetto al verso degli assi coordinati: scriveremo ${\vec {z}}(-2;-3)$. Il vettore ${\vec {u}}$ della figura [fig:F.4] (b) ha la componente lungo l’asse $x$ positiva e quella verticale negativa: scriveremo ${\vec {u}}(+4;-3)$.

Componenti di vettori

Procedura: Determinare le componenti cartesiane di un vettore ${\vec {v}}$, note le coordinate cartesiane degli estremi $A(x_{A};y_{A})$ e $B(x_{B};y_{B})$:

1. dal primo estremo tracciamo la parallela all’asse $x$ e dal secondo estremo la parallela all’asse $y$ determinando il punto $C(x_{B};y_{A})$;
2. calcoliamo le misure con segno $a=x_{B}-x_{A}$, $b=y_{B}-y_{A}$;
3. scriviamo ${\vec {v}}(a;b)$ ovvero ${\vec {v}}(x_{B}-x_{A};b=y_{B}-y_{A})$.

Ottenute le componenti si determina il modulo del vettore utilizzando il teorema di Pitagora; si ha infatti $|{\vec {u}}|={\overline {AB}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {(x_{B}-x_{A})^{2}+(y_{B}-y_{A})^{2}}}$. Il rapporto $m_{\vec {u}}={\tfrac {b}{a}}={\tfrac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}$ indica invece la direzione del vettore.