Elaborazione numerica dei segnali/Analisi dei sistemi LTI mediante trasformata zeta

Un sistema LTI può essere descritto usando la trasformata zeta:

${\begin{cases}y\left(n\right)=h\left(n\right)*x\left(n\right)\\Y\left(z\right)=H\left(z\right)X\left(z\right)\end{cases}}$

Interconnessione di sistemi LTI

Serie		$y\left(n\right)=x\left(n\right)*h_{1}\left(n\right)*h_{2}\left(n\right)$ $Y\left(z\right)=X\left(z\right)H_{1}\left(z\right)H_{2}\left(z\right)$
Parallelo		$y\left(n\right)=x\left(n\right)*\left[h_{1}\left(n\right)+h_{2}\left(n\right)\right]$ $Y\left(z\right)=X\left(z\right)\left[H_{1}\left(z\right)+H_{2}\left(z\right)\right]$
Con reazione		$y\left(n\right)=\left[x\left(n\right)-y\left(n\right)*h_{2}\left(n\right)\right]*h_{1}\left(n\right)$ $Y\left(z\right)=X\left(z\right){\frac {H_{1}\left(z\right)}{1+H_{1}\left(z\right)H_{2}\left(z\right)}}$

La regione di convergenza della trasformata $Y\left(z\right)$ coincide con l'intersezione tra le regioni di convergenza delle funzioni $X\left(z\right)$ e $H\left(z\right)$ (la cancellazione di poli e/o zeri estenderà la regione).

Filtri digitali

Un filtro digitale è un sistema LTI causale e scarico:

${\begin{cases}y\left(n\right)=\overbrace {-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y\left(n-k\right)} ^{\text{ricorsivo}}+\overbrace {\sum _{k=0}^{N}b_{k}x\left(n-k\right)} ^{\text{non ricorsivo}}\\Y^{+}\left(z\right)={\frac {\sum _{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}}{1+\sum _{k=1}^{M}a_{k}z^{-k}}}X^{+}\left(z\right)=H_{N}\left(z\right)H_{R}\left(z\right)X^{+}\left(z\right)\end{cases}}$

Filtri FIR non ricorsivi

Un sistema LTI causale con risposta all'impulso $h\left(n\right)$ a supporto finito può essere descritto:

${\begin{cases}y\left(n\right)=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x\left(n-k\right)\\H_{N}\left(z\right)=\sum _{z=0}^{N}b_{k}z^{-k}\end{cases}}$

Vantaggi dei filtri FIR

• Sono sempre stabili perché la funzione di trasferimento:

  $H\left(z\right)=\sum _{n=0}^{M-1}a_{n}z^{-n}$

possiede solo zeri e un polo multiplo nell'origine (quindi entro il cerchio di raggio unitario).

• Possono essere progettati in modo da avere fase lineare.

Filtri IIR puramente ricorsivi

Un sistema LTI causale puramente ricorsivo può essere descritto:

${\begin{cases}y\left(n\right)=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y\left(n-k\right)\\H_{R}\left(z\right)={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{M}a_{k}z^{-k}}}\end{cases}}$

Vantaggio dei filtri IIR

Generalmente soddisfano le specifiche di progetto con il minor numero possibile di coefficienti.

Sistemi LTI non scarichi

Se le condizioni iniziali $y\left(-1\right),y\left(-1\right),\ldots ,y\left(-M\right)$ non sono nulle, bisogna considerare anche i campioni di $y\left(n\right)$ e $x\left(n\right)$ presi in valori negativi (da $-k$ a $-1$, con $k>0$):

${\begin{cases}y\left(n\right)=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y\left(n-k\right)+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x\left(n-k\right)\\Y\left(z\right)=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}z^{-k}\left[Y^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{k}y\left(-n\right)z^{n}\right]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}\left[X^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{k}x\left(-n\right)z^{n}\right]\end{cases}}$

Stabilità di sistemi LTI

Sistemi LTI causali

Un sistema LTI causale è BIBO-stabile se la sua risposta all'impulso $h\left(n\right)$:

$y\left(n\right)=\sum _{k=0}^{+\infty }h\left(k\right)*x\left(n-k\right)$

è sommabile in modulo:

$\sum _{n=0}^{+\infty }\left|h\left(n\right)\right|\in \mathbb {R}$

Un sistema LTI causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza $H\left(z\right)$ appartengono al cerchio di raggio unitario.

Dimostrazione

Ipotesi

• $H\left(z\right)$ ha poli semplici
• $p_{n}<p_{d}$

${\begin{cases}H\left(z\right)=\sum _{i=1}^{p_{d}}{\frac {{\text{Res}}\left(z_{i}\right)}{1-d_{i}z^{-1}}}\\h\left(n\right)=\sum _{i=1}^{p_{d}}{\text{Res}}\left(z_{i}\right)\cdot d_{i}^{n}u\left(n\right)\end{cases}}$

Condizione necessaria

$\sum _{n=0}^{+\infty }\left|h\left(n\right)\right|=\sum _{n=0}^{+\infty }\left|\sum _{i=1}^{p_{d}}{\text{Res}}\left(z_{i}\right)\cdot d_{i}^{n}u\left(n\right)\right|\leq \sum _{n=0}^{+\infty }\sum _{i=1}^{p_{d}}\left|{\text{Res}}\left(z_{i}\right)\right|{\left|d_{i}\right|}^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\left|{\text{Res}}\left(z_{i}\right)\right|\sum _{i=1}^{p_{d}}{\left|d_{i}\right|}^{n}$

Se tutti i poli $d_{i}$ appartengono al cerchio di raggio unitario, il sistema è stabile:

$\sum _{n=0}^{+\infty }\left|{\text{Res}}\left(z_{i}\right)\right|\sum _{i=1}^{p_{d}}{\left|d_{i}\right|}^{n}=\sum _{n=0}^{+\infty }\left|{\text{Res}}\left(z_{i}\right)\right|{\frac {1}{1-\left|d_{i}\right|}}\in \mathbb {R} \Rightarrow \sum _{n=0}^{+\infty }\left|h\left(n\right)\right|\in \mathbb {R}$

Condizione sufficiente

$\sum _{n=0}^{+\infty }\left|h\left(n\right)\right|\in R\Rightarrow \lim _{n\to +\infty }h\left(n\right)=0$

$\lim _{n\to +\infty }h\left(n\right)=\lim _{n\to +\infty }\sum _{i=1}^{p_{d}}{\text{Res}}\left(z_{i}\right)\cdot d_{i}^{n}u\left(n\right)=\sum _{i=1}^{p_{d}}{\text{Res}}\left(z_{i}\right)\cdot \lim _{n\to +\infty }d_{i}^{n}=0\Leftrightarrow d_{i}<1\quad i=1,\ldots ,p_{d}$

Se un sistema LTI causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella sua regione di convergenza, che per i sistemi causali si estende all'esterno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI anti-causali

Un sistema LTI anti-causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza $H\left(z\right)$ non appartengono al cerchio di raggio unitario.

Se un sistema LTI anti-causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi anti-causali si estende all'interno della circonferenza che comprende i poli.

Sistemi LTI bilateri

Se un sistema LTI bilatero è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi bilateri è un anello circolare.

Realizzabilità fisica di sistemi LTI causali

Un sistema LTI causale è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso $h\left(n\right)$ è reale, ossia ogni coefficiente $b_{i}$ e $a_{i}$ della sua risposta in frequenza $H\left(z\right)$:

$H\left(z\right)={\frac {\sum _{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}}{1+\sum _{k=1}^{M}a_{k}z^{-k}}}$

è reale o è accoppiato con il suo complesso coniugato.

Sistemi inversi

Molto spesso nelle applicazioni pratiche è richiesta l'implementazione di un sistema LTI, chiamato sistema inverso, che inverta le caratteristiche di un altro sistema caratterizzato dalla trasformata $H\left(z\right)$:

$H_{I}\left(z\right)=H^{-1}\left(z\right)={\frac {1}{H\left(z\right)}}$

Ad esempio, nella trasmissione di dati attraverso il canale telefonico, al terminale di ricezione è necessario eliminare la distorsione del canale applicando al segnale un sistema inverso a quello del canale.

La cascata di un sistema con il suo inverso è chiamato sistema identità:

${\begin{cases}H_{C}\left(z\right)=H\left(z\right)H_{I}\left(z\right)=1\\h_{c}\left(n\right)=\delta \left(n\right)\end{cases}}$

Se $H\left(z\right)$ ha forma razionale:

$H\left(z\right)={\frac {b_{0}}{a_{0}}}{\frac {\prod _{i=1}^{p_{n}}\left(1-c_{i}z^{-1}\right)}{\prod _{i=1}^{p_{d}}\left(1-d_{i}z^{-1}\right)}}$

la risposta in frequenza $H_{I}\left(z\right)$ del sistema inverso vale:

$H_{I}\left(z\right)={\frac {b_{0}}{a_{0}}}{\frac {\prod _{i=1}^{p_{d}}\left(1-d_{i}z^{-1}\right)}{\prod _{i=1}^{p_{n}}\left(1-c_{i}z^{-1}\right)}}$

Se il sistema inverso è causale, gli zeri $c_{i}$ del sistema originario sono all'esterno della sua regione di convergenza. Se il sistema inverso è anche stabile, gli zeri $c_{i}$ del sistema originario sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.

Quindi un sistema LTI causale e stabile ammette un sistema inverso causale e stabile se anche i suoi zeri sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.