Un sistema LTI può essere descritto usando la trasformata zeta:
![{\displaystyle {\begin{cases}y\left(n\right)=h\left(n\right)*x\left(n\right)\\Y\left(z\right)=H\left(z\right)X\left(z\right)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0cf17dc5e303504c7d939b47dea49377e0efcdb)
Interconnessione di sistemi LTI
Serie
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![{\displaystyle y\left(n\right)=x\left(n\right)*h_{1}\left(n\right)*h_{2}\left(n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e23d1195ed0b610c9d7d4fb6835bed883cfc63b)
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Parallelo
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![{\displaystyle y\left(n\right)=x\left(n\right)*\left[h_{1}\left(n\right)+h_{2}\left(n\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a632052e4f5ba519f74032a39a18d91c23636f41)
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Con reazione
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![{\displaystyle y\left(n\right)=\left[x\left(n\right)-y\left(n\right)*h_{2}\left(n\right)\right]*h_{1}\left(n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1d437bf8bd4cc8f7649f9e8d5417652ca0f9fc)
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La regione di convergenza della trasformata
coincide con l'intersezione tra le regioni di convergenza delle funzioni
e
(la cancellazione di poli e/o zeri estenderà la regione).
Un filtro[1] digitale è un sistema LTI causale e scarico:
![{\displaystyle {\begin{cases}y\left(n\right)=\overbrace {-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y\left(n-k\right)} ^{\text{ricorsivo}}+\overbrace {\sum _{k=0}^{N}b_{k}x\left(n-k\right)} ^{\text{non ricorsivo}}\\Y^{+}\left(z\right)={\frac {\sum _{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}}{1+\sum _{k=1}^{M}a_{k}z^{-k}}}X^{+}\left(z\right)=H_{N}\left(z\right)H_{R}\left(z\right)X^{+}\left(z\right)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dde58c38cd5819c09ff72acaacabfe4f512d511a)
Un sistema LTI causale con risposta all'impulso
a supporto finito può essere descritto:
![{\displaystyle {\begin{cases}y\left(n\right)=\sum _{k=0}^{N}b_{k}x\left(n-k\right)\\H_{N}\left(z\right)=\sum _{z=0}^{N}b_{k}z^{-k}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79a5c7ed2e3a63ac621c9ae82906b57493772b5e)
- Vantaggi dei filtri FIR
- Sono sempre stabili perché la funzione di trasferimento:
![{\displaystyle H\left(z\right)=\sum _{n=0}^{M-1}a_{n}z^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f2b3139a7b7aed858aa90cdc328851d77773c2)
possiede solo zeri e un polo multiplo nell'origine (quindi entro il cerchio di raggio unitario).
- Possono essere progettati in modo da avere fase lineare.
Un sistema LTI causale puramente ricorsivo può essere descritto:
![{\displaystyle {\begin{cases}y\left(n\right)=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y\left(n-k\right)\\H_{R}\left(z\right)={\frac {1}{1+\sum _{k=1}^{M}a_{k}z^{-k}}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7efb882011a348fcf4748f077e097bd8e22410f1)
- Vantaggio dei filtri IIR
Generalmente soddisfano le specifiche di progetto con il minor numero possibile di coefficienti.
Se le condizioni iniziali
non sono nulle, bisogna considerare anche i campioni di
e
presi in valori negativi (da
a
, con
):
![{\displaystyle {\begin{cases}y\left(n\right)=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}y\left(n-k\right)+\sum _{k=0}^{N}b_{k}x\left(n-k\right)\\Y\left(z\right)=-\sum _{k=1}^{M}a_{k}z^{-k}\left[Y^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{k}y\left(-n\right)z^{n}\right]+\sum _{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}\left[X^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{k}x\left(-n\right)z^{n}\right]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378db09d8500f65af3f67bdc4873441e6193d194)
Un sistema LTI causale è BIBO-stabile se la sua risposta all'impulso
:
![{\displaystyle y\left(n\right)=\sum _{k=0}^{+\infty }h\left(k\right)*x\left(n-k\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f53b33f8e62f4fb3e6c8baa9e334fae61542477)
è sommabile in modulo:
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }\left|h\left(n\right)\right|\in \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d3a7be1dc892622f98e5b5098f35704b6dfe01)
Un sistema LTI causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza
appartengono al cerchio di raggio unitario.
Se un sistema LTI causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella sua regione di convergenza, che per i sistemi causali si estende all'esterno della circonferenza che comprende i poli.
Un sistema LTI anti-causale è stabile se e solo se tutti i poli della risposta in frequenza
non appartengono al cerchio di raggio unitario.
Se un sistema LTI anti-causale è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi anti-causali si estende all'interno della circonferenza che comprende i poli.
Se un sistema LTI bilatero è stabile, la sua circonferenza di raggio unitario è inclusa nella regione di convergenza, che per i sistemi bilateri è un anello circolare.
Un sistema LTI causale[2] è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso
è reale, ossia ogni coefficiente
e
della sua risposta in frequenza
:
![{\displaystyle H\left(z\right)={\frac {\sum _{k=0}^{N}b_{k}z^{-k}}{1+\sum _{k=1}^{M}a_{k}z^{-k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12dbb297bcb2ff6eaf68e4cdaeade86c0c1e204)
è reale o è accoppiato con il suo complesso coniugato.[3]
Molto spesso nelle applicazioni pratiche è richiesta l'implementazione di un sistema LTI, chiamato sistema inverso, che inverta le caratteristiche di un altro sistema caratterizzato dalla trasformata
:
![{\displaystyle H_{I}\left(z\right)=H^{-1}\left(z\right)={\frac {1}{H\left(z\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef51da6d7ee82fc86387f94257dc85c91d2b586)
Ad esempio, nella trasmissione di dati attraverso il canale telefonico, al terminale di ricezione è necessario eliminare la distorsione del canale applicando al segnale un sistema inverso a quello del canale.
La cascata di un sistema con il suo inverso è chiamato sistema identità:
![{\displaystyle {\begin{cases}H_{C}\left(z\right)=H\left(z\right)H_{I}\left(z\right)=1\\h_{c}\left(n\right)=\delta \left(n\right)\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/311f22cc82ebce15df37e2fa48e5418082e5c768)
Se
ha forma razionale:
![{\displaystyle H\left(z\right)={\frac {b_{0}}{a_{0}}}{\frac {\prod _{i=1}^{p_{n}}\left(1-c_{i}z^{-1}\right)}{\prod _{i=1}^{p_{d}}\left(1-d_{i}z^{-1}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/868c6b9fb79fbc7b04b72aeb4044db3c901a63f0)
la risposta in frequenza
del sistema inverso vale:
![{\displaystyle H_{I}\left(z\right)={\frac {b_{0}}{a_{0}}}{\frac {\prod _{i=1}^{p_{d}}\left(1-d_{i}z^{-1}\right)}{\prod _{i=1}^{p_{n}}\left(1-c_{i}z^{-1}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9fb80047058e3f6bf3e8ec9930c4ae5544f46a4)
Se il sistema inverso è causale, gli zeri
del sistema originario sono all'esterno della sua regione di convergenza. Se il sistema inverso è anche stabile, gli zeri
del sistema originario sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.
Quindi un sistema LTI causale e stabile ammette un sistema inverso causale e stabile se anche i suoi zeri sono contenuti nel cerchio di raggio unitario.
- ↑ Un filtro è un sistema che seleziona una certa banda di frequenze di un segnale.
- ↑ Si suppone scarico.
- ↑ Infatti:
![{\displaystyle \left(z-\alpha \right)\left(z-\alpha ^{*}\right)=z^{2}-\alpha z-\alpha ^{*}z+{\left|\alpha \right|}^{2}=z^{2}-\left(\alpha +\alpha ^{*}\right)z+{\left|\alpha \right|}^{2}=z^{2}-2\Re {\left\{\alpha \right\}}z+{\left|\alpha \right|}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49832da77357746db243c6ec83faf1590db879e2)