L'elaborazione numerica dei segnali (ENS) è l'applicazione di un algoritmo ad una serie di numeri che rappresenta un segnale.
Un segnale
è a tempo discreto se è definito rispetto a una variabile indipendente
che assume solo valori interi (
). Per semplicità si parla di
come la sequenza
. Il segnale è detto numerico o digitale se assume solo ampiezze discrete.
Classificazione[modifica]
Durata di una sequenza[modifica]
Una sequenza può avere:
- durata finita: la sequenza è identicamente nulla all'esterno di un intervallo finito di tempo
;
- durata infinita: il supporto temporale può essere bilatero (
) o monolatero (
o
).
Una sequenza è:
- casuale se è identicamente nulla per valori di n minori di 0;
- anticasuale se è identicamente nulla per valori di n maggiori o uguali di 0.
Una sequenza
reale è detta:
- pari se
;
- dispari se
.
Una sequenza
complessa è detta:
- coniugata simmetrica se
;
- coniugata antisimmetrica se
.
Una qualunque sequenza complessa
può essere scritta come somma di una sequenza coniugata simmetrica
e di una sequenza coniugata antisimmetrica
:

dove:

Dimostrazione

Una sequenza
è periodica se è possibile trovare un intervallo di tempo
per cui vale la relazione:

Il periodo è il più piccolo valore intero positivo di
per cui la sequenza è periodica.
Sequenze limitate in ampiezza[modifica]
Una sequenza
è limitata se per qualunque istante di tempo discreto
assume valori contenuti entro un intervallo finito
(costante reale finita positiva):

Sequenze sommabili[modifica]
Una sequenza
è assolutamente sommabile se:

Una sequenza
è quadraticamente sommabile se:

Sequenze elementari[modifica]
Sequenza gradino unitario[modifica]
Delta di Kronecker (impulso unitario)[modifica]
Qualsiasi segnale
può essere espresso come somma di impulsi:

- Relazione tra delta numerica e gradino unitario


Interseca l'asse orizzontale in
,
, ecc.
Se
, la sequenza
coincide con la delta di Kronecker.
Sequenza triangolo[modifica]
Sequenza esponenziale[modifica]
Se
è complesso:

Sinusoidi a tempo discreto[modifica]
- Proprietà 1
Sinusoidi che differiscono per un numero intero di angoli giro sono indistinguibili nel dominio del tempo discreto:

- Proprietà 2
La frequenza delle oscillazioni di una sinusoide a tempo discreto:
: aumenta all'aumentare di
;
: diminuisce all'aumentare di
.
- Proprietà 3
Una sinusoide è periodica se il prodotto
è un numero intero:

Una sinusoide discreta perciò non necessariamente è periodica di periodo
. Se
non è un numero razionale, la sinusoide non è periodica (
dev'essere intero).
Operazioni elementari[modifica]
Somma e prodotto[modifica]
Le operazioni di somma e prodotto si applicano tra coppie di campioni osservati nei medesimi istanti di tempo.
Traslazione e ribaltamento[modifica]
- Traslazione
La traslazione consiste nel campio di variabile
, dove
è pari al numero di campioni per cui il segnale è ritardato o anticipato:

- Ribaltamento
Il ribaltamento consiste nel cambio di variabile
e realizza l'inversione dell'asse dei tempi:

L'operazione di traslazione ha la precedenza su quella di ribaltamento:

Scalamento temporale[modifica]
- Sottocampionamento
L'operazione di sottocampionamento corrisponde a costruire la sequenza
prendendo un campione ogni
della sequenza
:

Corrisponde all'operazione di compressione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è downsample.
- Sovracampionamento
L'operazione di sovracampionamento corrisponde a costruire la sequenza
inserendo
zeri tra ogni campione della sequenza
:

Corrisponde all'operazione di dilatazione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è upsample.
Convoluzione lineare[modifica]
La convoluzione lineare tra due sequenze discrete
e
è definita:

- Proprietà
Il supporto della convoluzione è pari alla somma dei singoli supporti meno 1.
- commutativa:

- distributiva:
![{\displaystyle x\left(n\right)*\left[y\left(n\right)+z\left(n\right)\right]=x\left(n\right)*y\left(n\right)+x\left(n\right)*z\left(n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffcdebba1f29731ec770f6a2604d5fa8c38985b8)
- associativa:
![{\displaystyle x\left(n\right)*\left[y\left(n\right)*z\left(n\right)\right]=\left[x\left(n\right)*y\left(n\right)\right]*z\left(n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ec4d0bfc3fa6b3e2d16756d0e87664441e5143)
La funzione Matlab è conv.
Energia e potenza media[modifica]

Per sequenze a energia finita, l'energia non dipende da traslazioni temporali di
:

L'energia di un segnale analogico
è approssimabile alla sua sequenza
campionata a intervalli
molto piccoli:

Per sequenze a energia infinita è possibile definire la potenza media:

- Le sequenze a energia finita hanno potenza media nulla.
- Le sequenze a potenza media finita (e non nulla) hanno energia infinita.
- Esempio
La sequenza gradino unitario
ha energia infinita ma potenza media finita:


La potenza media di un segnale periodico è pari alla potenza media calcolata in un suo periodo.
La potenza media
di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo:

La potenza di un segnale analogico
è approssimabile alla sua sequenza
campionata a intervalli
molto piccoli:

Inoltre, se il segnale è periodico:

Funzioni di correlazione[modifica]
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Mutua correlazione |
Autocorrelazione
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Sequenze a potenza finita
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Sequenze periodiche
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Proprietà
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se la sequenza è reale:
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Esempio: segnale radar[modifica]
La funzione di mutua correlazione può essere usata per ricavare informazioni sul grado di similarità tra due sequenze a energia finita.
L'eco
di un segnale radar
è del tipo:

è l'attenuazione del segnale;
è il ritardo del segnale;
è il rumore.
La funzione di mutua correlazione
ha un picco in
→ sapendo il ritardo è possibile calcolare la distanza dell'oggetto:
.

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