Elaborazione numerica dei segnali/Segnali a tempo discreto

L'elaborazione numerica dei segnali (ENS) è l'applicazione di un algoritmo ad una serie di numeri che rappresenta un segnale.

Un segnale $x\left(nT_{c}\right)$ è a tempo discreto se è definito rispetto a una variabile indipendente $n$ che assume solo valori interi ($n\in \mathbb {Z}$). Per semplicità si parla di $x\left(nT_{c}\right)$ come la sequenza $x\left(n\right)$. Il segnale è detto numerico o digitale se assume solo ampiezze discrete.

Classificazione

Durata di una sequenza

Una sequenza può avere:

• durata finita: la sequenza è identicamente nulla all'esterno di un intervallo finito di tempo $\left[n_{1},n_{2}\right]$;
• durata infinita: il supporto temporale può essere bilatero ($\left(-\infty ,+\infty \right)$) o monolatero ($\left[n_{1},+\infty \right)$ o $\left(-\infty ,n_{2}\right)$).

Causalità

Una sequenza è:

• casuale se è identicamente nulla per valori di n minori di 0;
• anticasuale se è identicamente nulla per valori di n maggiori o uguali di 0.

Parità

Una sequenza $x\left(n\right)$ reale è detta:

• pari se $x\left(n\right)=x\left(-n\right)$;
• dispari se $x\left(n\right)=-x\left(-n\right)$.

Una sequenza $x\left(n\right)$ complessa è detta:

• coniugata simmetrica se $x\left(n\right)=x^{*}\left(-n\right)$;
• coniugata antisimmetrica se $x\left(n\right)=-x^{*}\left(-n\right)$.

Una qualunque sequenza complessa $x\left(n\right)$ può essere scritta come somma di una sequenza coniugata simmetrica $x_{p}\left(n\right)$ e di una sequenza coniugata antisimmetrica $x_{d}\left(n\right)$:

$x\left(n\right)=x_{p}\left(n\right)+x_{d}\left(n\right)$

dove:

${\begin{cases}x_{p}\left(n\right)={\frac {1}{2}}x\left(n\right)+{1 \over 2}x^{*}\left(-n\right)=x_{p}^{*}\left(-n\right)\\x_{d}\left(n\right)={1 \over 2}x\left(n\right)-{1 \over 2}x^{*}\left(-n\right)=-x_{d}^{*}\left(-n\right)\end{cases}}$

Dimostrazione

$x\left(n\right)={1 \over 2}x\left(n\right)+{1 \over 2}x\left(n\right)=\underbrace {{1 \over 2}x\left(n\right)+{1 \over 2}x^{*}\left(-n\right)} _{x_{p}\left(n\right)}+\underbrace {{1 \over 2}x\left(n\right)-{1 \over 2}x^{*}\left(-n\right)} _{x_{d}\left(n\right)}$

Periodicità

Una sequenza $x\left(n\right)$ è periodica se è possibile trovare un intervallo di tempo $N$ per cui vale la relazione:

$x\left(n\right)=x\left(n\pm N\right)\quad N\in \mathbb {N}$

Il periodo è il più piccolo valore intero positivo di $N$ per cui la sequenza è periodica.

Sequenze limitate in ampiezza

Una sequenza $x\left(n\right)$ è limitata se per qualunque istante di tempo discreto $n$ assume valori contenuti entro un intervallo finito $X_{0}$ (costante reale finita positiva):

$\left|x\left(n\right)\right|\leq X_{0}\quad \forall n$

Sequenze sommabili

Una sequenza $x\left(n\right)$ è assolutamente sommabile se:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left|x\left(n\right)\right|\in \mathbb {R}$

Una sequenza $x\left(n\right)$ è quadraticamente sommabile se:

$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(n\right)\right|}^{2}\in \mathbb {R}$

Sequenze elementari

Sequenza gradino unitario

$u\left(n\right)={\begin{cases}0,&n<0\\1,&n\geq 0\end{cases}}$

Delta di Kronecker (impulso unitario)

$\delta \left(n\right)={\begin{cases}0,&n\neq 0\\1,&n=0\end{cases}}$

Qualsiasi segnale $x\left(n\right)$ può essere espresso come somma di impulsi:

$x\left(n\right)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x\left(i\right)\delta \left(n-i\right)$

Relazione tra delta numerica e gradino unitario

$u\left(n\right)=\sum _{i=0}^{+\infty }\delta \left(n-i\right)=\delta \left(n\right)+\delta \left(n-1\right)+\delta \left(n-2\right)+\ldots$

$\delta \left(n\right)=u\left(n\right)-u\left(n-1\right)$

Sequenza rampa

$r\left(n\right)=nu\left(n\right)={\begin{cases}0,&n<0\\n,&n\geq 0\end{cases}}$

Sequenza sinc

$\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{N}}\right)={\frac {\sin {\left(\pi {\frac {n}{N}}\right)}}{\pi {\frac {n}{N}}}},\quad N\in \mathbb {N}$

Interseca l'asse orizzontale in $N$, $2N$, ecc.

Se $N=1$, la sequenza $\mathrm {sinc} \left(n\right)$ coincide con la delta di Kronecker.

Sequenza triangolo

$t_{2N+1}\left(n\right)={\begin{cases}1-{\frac {\left|n\right|}{N}},&\left|n\right|\leq N\\0,&\left|n\right|>N\end{cases}},\quad N\in \mathbb {N}$

Sequenza esponenziale

$x\left(n\right)=a^{n}u\left(n\right)$

Se $a$ è complesso:

$a=Ae^{j\theta }\Rightarrow x\left(n\right)=A^{n}e^{jn\theta }u\left(n\right)$

Sinusoidi a tempo discreto

Proprietà 1

Sinusoidi che differiscono per un numero intero di angoli giro sono indistinguibili nel dominio del tempo discreto:

$A\cos {\left(2\pi f_{0}n+2\pi kn+\theta \right)}=A\cos {\left(2\pi f_{0}n+\theta \right)}\quad k\in \mathbb {Z}$

Proprietà 2

La frequenza delle oscillazioni di una sinusoide a tempo discreto:

• $0<f_{0}<{\tfrac {1}{2}}$: aumenta all'aumentare di $f_{0}$;
• ${\tfrac {1}{2}}<f_{0}<1$: diminuisce all'aumentare di $f_{0}$.

Proprietà 3

Una sinusoide è periodica se il prodotto $Nf_{0}$ è un numero intero:

$x\left(n+N\right)=x\left(n\right)\Rightarrow A\cos {\left(2\pi f_{0}n+2\pi f_{0}N+\theta \right)}=\cos {\left(2\pi f_{0}n+\theta \right)}\quad N\in \mathbb {Z}$

Una sinusoide discreta perciò non necessariamente è periodica di periodo ${\tfrac {1}{f_{0}}}$. Se $f_{0}$ non è un numero razionale, la sinusoide non è periodica ($N$ dev'essere intero).

Operazioni elementari

Somma e prodotto

Le operazioni di somma e prodotto si applicano tra coppie di campioni osservati nei medesimi istanti di tempo.

Traslazione e ribaltamento

Traslazione

La traslazione consiste nel campio di variabile $n\to n-N$, dove $N\in \mathbb {N}$ è pari al numero di campioni per cui il segnale è ritardato o anticipato:

$y\left(n\right)=x\left(n-N\right)$

Ribaltamento

Il ribaltamento consiste nel cambio di variabile $n\to -n$ e realizza l'inversione dell'asse dei tempi:

$y\left(n\right)=x\left(-n\right)$

L'operazione di traslazione ha la precedenza su quella di ribaltamento:

$x\left(n\right)\to x\left(n-N\right)\to x\left(-n-N\right)$

Scalamento temporale

Sottocampionamento

L'operazione di sottocampionamento corrisponde a costruire la sequenza $y\left(n\right)$ prendendo un campione ogni $D$ della sequenza $x\left(n\right)$:

$y\left(n\right)=Dx\left(n\right)\quad D\in \mathbb {N}$

Corrisponde all'operazione di compressione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è downsample.

Sovracampionamento

L'operazione di sovracampionamento corrisponde a costruire la sequenza $y\left(n\right)$ inserendo $I-1$ zeri tra ogni campione della sequenza $x\left(n\right)$:

$y\left(n\right)={\begin{cases}x\left({\frac {n}{I}}\right)&\forall n=\ldots ,-2I,-I,0,+I,+2I,\ldots \\0&{\text{altrimenti}}\end{cases}}$

Corrisponde all'operazione di dilatazione nel dominio del tempo continuo. La funzione Matlab è upsample.

Convoluzione lineare

La convoluzione lineare tra due sequenze discrete $x\left(n\right)$ e $y\left(n\right)$ è definita:

$x\left(n\right)*y\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)y\left(n-k\right)$

Proprietà

Il supporto della convoluzione è pari alla somma dei singoli supporti meno 1.

• commutativa:

  $x\left(n\right)*y\left(n\right)=y\left(n\right)*x\left(n\right)$

• distributiva:

  $x\left(n\right)*\left[y\left(n\right)+z\left(n\right)\right]=x\left(n\right)*y\left(n\right)+x\left(n\right)*z\left(n\right)$

• associativa:

  $x\left(n\right)*\left[y\left(n\right)*z\left(n\right)\right]=\left[x\left(n\right)*y\left(n\right)\right]*z\left(n\right)$

La funzione Matlab è conv.

Energia e potenza media

Energia

$E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(n\right)\right|}^{2}$

Per sequenze a energia finita, l'energia non dipende da traslazioni temporali di $x\left(n\right)$:

$E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(n\right)\right|}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(n-N\right)\right|}^{2}\quad \forall N\in \mathbb {Z}$

L'energia di un segnale analogico $x\left(t\right)$ è approssimabile alla sua sequenza $x\left(nT_{c}\right)$ campionata a intervalli $T_{c}$ molto piccoli:

$E_{x}=\int _{-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt\approx T_{c}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(nT_{c}\right)\right|}^{2}$

Potenza media

Per sequenze a energia infinita è possibile definire la potenza media:

$P_{x}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{+N}{\left|x\left(n\right)\right|}^{2}$

• Le sequenze a energia finita hanno potenza media nulla.
• Le sequenze a potenza media finita (e non nulla) hanno energia infinita.

Esempio

La sequenza gradino unitario $u\left(n\right)$ ha energia infinita ma potenza media finita:

$E_{x}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\left|u\left(n\right)\right|}^{2}=\sum _{n=0}^{+\infty }1\to +\infty$

$P_{x}=\lim _{N\to +\infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=-N}^{+N}{\left|u\left(n\right)\right|}^{2}=\lim _{N\to +\infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{n=0}^{+N}1=\lim _{N\to +\infty }{\frac {N+1}{2N+1}}={\frac {1}{2}}$

La potenza media di un segnale periodico è pari alla potenza media calcolata in un suo periodo. La potenza media $P_{x}$ di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo:

$P_{x}={\frac {1}{N}}\sum _{n=0}^{N-1}{\left|x\left(n\right)\right|}^{2}$

La potenza di un segnale analogico $x\left(t\right)$ è approssimabile alla sua sequenza $x\left(nT_{c}\right)$ campionata a intervalli $T_{c}$ molto piccoli:

$P_{x}=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{2T}}\int _{-T}^{T}{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt\cong \lim _{N\to +\infty }{\frac {1}{\left(2N+1\right){\cancel {T_{c}}}}}\sum _{n=-N}^{+N}{\left|x\left(nT_{c}\right)\right|}^{2}{\cancel {T_{c}}}$

Inoltre, se il segnale è periodico:

$P_{x}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt\cong {\frac {1}{N{\cancel {T_{c}}}}}\sum _{n=0}^{N-1}{\left|x\left(nT_{c}\right)\right|}^{2}{\cancel {T_{c}}}$

Funzioni di correlazione

	Mutua correlazione	Autocorrelazione
	$R_{xy}\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x^{*}\left(k+n\right)y\left(k\right)$	$R_{x}\left(n\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x^{*}\left(k+n\right)x\left(k\right)$
Sequenze a potenza finita	$\Phi _{xy}\left(n\right)=\lim _{N\to +\infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{k=-N}^{+N}x^{*}\left(k+n\right)y\left(k\right)$	$\Phi _{x}\left(n\right)=\lim _{N\to +\infty }{\frac {1}{2N+1}}\sum _{k=-N}^{+N}x^{*}\left(k+n\right)x\left(k\right)$
Sequenze periodiche	$\Phi _{xy}\left(n\right)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}x^{*}\left(k+n\right)y\left(k\right)$	$\Phi _{x}\left(n\right)={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}x^{*}\left(k+n\right)x\left(k\right)$
Proprietà	se la sequenza è reale: $R_{xy}\left(n\right)=R_{yn}\left(-n\right)$	$R_{x}\left(0\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(k\right)\right|}^{2}=E_{x}$

Esempio: segnale radar

La funzione di mutua correlazione può essere usata per ricavare informazioni sul grado di similarità tra due sequenze a energia finita.

L'eco $r\left(n\right)$ di un segnale radar $x\left(t\right)$ è del tipo:

$r\left(n\right)=\alpha x\left(n-D\right)+g\left(n\right)$

• $\alpha$ è l'attenuazione del segnale;
• $D$ è il ritardo del segnale;
• $g\left(n\right)$ è il rumore.

La funzione di mutua correlazione $z\left(n\right)$ ha un picco in $n=D$ → sapendo il ritardo è possibile calcolare la distanza dell'oggetto: $d={\tfrac {D}{2}}\cdot c$.

$x\left(n\right)$

$r\left(n\right)$

$z\left(n\right)$