- Vantaggio rispetto alla DTFT
La trasformata zeta converge in modo uniforme per una classe di segnali più vasta.
- Utilità
La trasformata zeta trasforma le equazioni alle differenze in equazioni algebriche più semplici.
La trasformata zeta
della sequenza
è un polinomio nella variabile
e con i campioni della sequenza
per coefficienti:

dove
è una variabile complessa di modulo
e fase
, che può assumere valori in tutto il piano complesso:

Relazione con la DTFT[modifica]
La DTFT
è un caso particolare della trasformata zeta perché, nel piano complesso, percorre al variare di
una circonferenza di raggio unitario:

Come nel dominio del tempo continuo la trasformata di Laplace è la generalizzazione della trasformata di Fourier, così nel dominio del tempo discreto la trasformata zeta è la generalizzazione della DTFT.
Relazione con la DFT[modifica]
A partire dai campioni della DFT di una sequenza
a supporto limitato
si può risalire alla sua trasformata zeta tramite interpolazione:

Analisi della regione di convergenza[modifica]
L'espressione della trasformata zeta è detta serie di Cauchy-Laurent. La regione di convergenza (ROC) della serie è il luogo dei punti per cui essa converge in modo uniforme. Nella regione di convergenza, la trasformata zeta
è una funzione analitica, ossia continua e infinitamente derivabile con derivate continue.
La serie della trasformata zeta converge se e solo se la sequenza
è assolutamente sommabile:

Le regioni di convergenza nel piano complesso sono delimitate da circonferenze (ossia luoghi dei punti a modulo costante), perché non dipendono dalla fase
ma solo dal modulo
.
- Esempio

- se
converge su tutto il piano complesso:

- se
diverge per
:

- se
diverge per
:

Sequenze unilatere e sequenze bilatere[modifica]
La ricerca della regione di convergenza di
equivale alla ricerca della regione in cui la serie
risulta assolutamente sommabile:

- la parte anti-causale converge all'interno della circonferenza avente un raggio
sufficientemente piccolo;
- la parte causale converge all'esterno di una circonferenza di raggio
sufficientemente grande.
- Sequenze unilatere anti-causali
La parte causale è nulla → la trasformata zeta
converge all'interno della circonferenza di raggio
:
- Sequenze unilatere causali
La parte anti-causale è nulla → la trasformata zeta
converge all'esterno della circonferenza di raggio
:
- Sequenze bilatere
Esistono sia la parte causale sia la parte anti-causale:
- se
, la trasformata zeta
non converge (l'intersezione tra le due regioni è nulla);
- se
, la trasformata zeta
converge nella corona circolare tra
e
:
Regione di convergenza delle sequenze gradino[modifica]
Il gradino e il gradino anti-causale hanno la stessa trasformata zeta:

ma regioni di convergenza differenti:
- il gradino
converge all'esterno della circonferenza unitaria:
;
Calcoli

- il gradino anti-causale
converge all'interno della circonferenza unitaria:
.
Calcoli
![{\displaystyle X\left(z\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\left[-u\left(-n-1\right)\right]z^{-n}=-\sum _{n=-\infty }^{-1}{\left(z^{-1}\right)}^{n}=-\sum _{m=1}^{+\infty }z^{m}=-\sum _{m=0}^{+\infty }z^{m}+1=-{\frac {1}{1-z}}+1=-{\frac {z}{1-z}}={\frac {1}{1-{z}^{-1}}}\quad \left|z\right|<1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd6a56f43afa5631ca307b8c8adc747ad22fdb6f)
Regione di convergenza di sequenze a supporto finito[modifica]
La trasformata zeta
di sequenze a supporto finito
:

Dimostrazione

- Sequenze unilatere causali (
)
La trasformata zeta
converge in qualunque punto del piano complesso eccetto l'origine (
). La regione di convergenza è all'esterno di una circonferenza di raggio infinitesimo.
- Sequenze unilatere anti-causali (
)
La trasformata zeta
converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'infinito (
). La regione di convergenza è all'interno di una circonferenza di raggio infinito.
- Sequenze bilatere
La trasformata zeta
converge in qualunque punto nel piano complesso eccetto l'origine e l'infinito.
Regione di convergenza di sequenze con trasformata zeta espressa come rapporto di polinomi[modifica]
Nella maggior parte dei casi la trasformata zeta è espressa come rapporto di polinomi:

- le radici
del numeratore sono gli zeri di
;
- le radici
del denominatore sono i poli di
.
- Sequenze unilatere causali
La trasformata zeta
converge all'esterno della circonferenza che racchiude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'interno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più vicino all'origine. La circonferenza esiste sempre perché non possono esistere poli per
.
- Sequenze unilatere anti-causali
La trasformata zeta
converge all'interno della circonferenza che esclude tutti i poli, cioè tutti i poli devono stare all'esterno della circonferenza di raggio pari al modulo del polo più distante dall'origine.
- Sequenze bilatere
La trasformata zeta
converge nella corona circolare tra la circonferenza del polo più distante e quella del polo più vicino.
Proprietà della trasformata zeta[modifica]
Proprietà della trasformata zeta
|
Sequenza |
Trasformata zeta |
Regione di convergenza
|
Linearità
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|
|
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Ritardo nel tempo
|
|
|
|
Anticipo nel tempo
|
|
|
|
Ribaltamento nel tempo
|
|
|
|
Coniugazione complessa
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|
|
Scalamento nel dominio trasformato
|
|
|
|
Derivata nel dominio trasformato
|
|
|
|
Convoluzione nel tempo
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|
|
|
Parte reale
|
|
|
|
Parte immaginaria
|
|
|
|
Sequenza cosinusoidale
|
|
|
—
|
Sequenza sinusoidale
|
|
|
—
|
Trasformata zeta unilatera[modifica]
La trasformata zeta unilatera
è la trasformata della parte causale della sequenza
:

Per le sequenze unilatere causali, la trasformata zeta
coincide con la trasformata zeta unilatera
.
Proprietà di traslazione nel tempo per trasformate zeta unilatere
|
Sequenza  |
Trasformata zeta
|
Ritardo nel tempo
|
|
|
Anticipo nel tempo
|
|
|
Dimostrazione proprietà di ritardo
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }x\left(n-N\right)z^{-N}=\sum _{m=-N}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m-N}=z^{-N}\left[\sum _{m=-N}^{-1}x\left(m\right)z^{-m}+\sum _{m=0}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m}\right]=z^{-N}\left[X^{+}\left(z\right)+\sum _{n=1}^{N}x\left(-n\right)z^{n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfd0e95fbd9b7a446d5a212814dfcfded63af57)
Dimostrazione proprietà di anticipo
![{\displaystyle \sum _{n=0}^{+\infty }x\left(n+N\right)z^{-n}=\sum _{m=N}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m+N}=z^{N}\left[\sum _{m=0}^{+\infty }x\left(m\right)z^{-m}-\sum _{m=0}^{N-1}x\left(m\right)z^{-m}\right]=z^{N}\left[X^{+}\left(z\right)-\sum _{n=0}^{N}x\left(n\right)z^{-n}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178ab48a975806d8ff673677f842e1035ed6b1af)
Teorema del valore iniziale[modifica]
Se
è una sequenza causale:

Dimostrazione
![{\displaystyle \lim _{z\to +\infty }X\left(z\right)=\lim _{z\to +\infty }\left[x\left(0\right)+\underbrace {x\left(1\right)} _{=0}z^{-1}+\underbrace {x\left(2\right)} _{=0}z^{-2}+\ldots \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87583df493ab1ca38d1875080506cc1d2d3f5c39)
Trasformata zeta di sequenze elementari[modifica]
Sequenza  |
Trasformata zeta  |
Regione di convergenza |
Poli e zeri
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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: polo
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|
|
|
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|
|
: zero
: polo
: polo
|
|
|
|
: zero
: polo
: polo
|
|
|
|
|
Inversione della trasformata zeta[modifica]
L'antitrasformata zeta è definita attraverso un integrale di circuitazione:

dove
è una curva di Jordan:
- percorsa in senso antiorario;
- appartenente alla regione di convergenza della trasformata zeta
;
- comprendente l'origine;
- comprendente
poli della funzione
.
Dimostrazione

Per il teorema di Cauchy:

Per il teorema dei residui, l'integrale di linea si può esprimere come somma dei residui dovuti agli
poli:
