Elaborazione numerica dei segnali/Analisi in frequenza di segnali a tempo continuo campionati

DTFT di un segnale analogico campionato

La trasformata di Fourier $X_{d}\left(f_{a}\right)$ del segnale $x_{d}\left(t\right)$, cioè il segnale analogico $x\left(t\right)$ campionato a frequenza $f_{c}$:

$x_{d}\left(t\right)=x\left(t\right)\cdot \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-kT_{c}\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(kT_{c}\right)\delta \left(t-kT_{c}\right)$

si può esprimere in due modi del tutto equivalenti:

$X_{d}\left(f_{a}\right)={\mathcal {F}}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)\delta \left(t-kT_{c}\right)\right\}={\begin{cases}{\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}*{\mathcal {F}}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-kT_{c}\right)\right\}=\ldots ={\frac {1}{T_{c}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }X\left(f_{a}-k{\frac {1}{T_{c}}}\right)\\{\mathcal {F}}\left\{\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(kT_{c}\right)\cdot \delta \left(t-kT_{c}\right)\right\}=\ldots =\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(kT_{c}\right)e^{-j2\pi kT_{c}f_{a}}\end{cases}}$

La DTFT $X\left(e^{j2\pi f}\right)$ del segnale a tempo discreto $x\left(k\right)$ può essere ricondotta alla trasformata di Fourier $X_{d}\left(f_{a}\right)$ del corrispondente segnale analogico $x\left(kT_{c}\right)$, campionato con una frequenza $f_{c}={\tfrac {1}{T_{c}}}$ che rispetta il teorema del campionamento:

${\begin{cases}X\left(e^{j2\pi f}\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j2\pi f}\\X_{d}\left(f_{a}\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(kT_{c}\right)e^{-j2\pi kT_{c}f_{a}}\end{cases}}\Rightarrow X_{d}\left(f\cdot f_{c}\right)=\sum _{k=-\infty }^{+\infty }x\left(k\right)e^{-j2\pi kf}=X\left(e^{j2\pi f}\right)$

Per ricostruire perfettamente il segnale campionato, serve un filtro passa-basso ideale $H\left(f\right)$, che è la porta di ampiezza $T_{c}$ e supporto $\left[-{\tfrac {f_{c}}{2}},{\tfrac {f_{c}}{2}}\right]$, per eliminare le repliche dello spettro periodico $X_{d}\left(f_{a}\right)$ lasciando solo quella centrata intorno all'origine ($k=0$):

$X\left(f_{a}\right)=H\left(f\right)*X_{d}\left(f_{a}\right)=T_{c}X_{d}\left(f_{a}\right)\quad f_{a}\in \left[-{\frac {f_{c}}{2}},{\frac {f_{c}}{2}}\right]$

Quindi il legame tra la DTFT del segnale a tempo discreto $x\left(k\right)$ e la trasformata di Fourier del segnale campionato $x\left(kT_{c}\right)$ filtrata con un filtro passa-basso è:

$X\left(f\cdot f_{c}\right)=T_{c}\cdot X_{d}\left(f\cdot f_{c}\right)=T_{c}\cdot X\left(e^{j2\pi f}\right)\quad f_{a}\in \left[-{\frac {f_{c}}{2}},{\frac {f_{c}}{2}}\right]$

DFT di un segnale analogico campionato

Ipotesi

• il segnale $x\left(t\right)$ ha supporto $\left(0,T_{x}\right)$ limitato nel tempo;
• il segnale $x\left(t\right)$ è a banda limitata (pari a $B_{x}$);
• il segnale $x\left(t\right)$ viene campionato con una frequenza di campionamento $f_{c}\geq 2B_{x}$ per evitare l'aliasing in frequenza, generando la sequenza:

  $x\left(n\right)=x\left(nT_{c}\right)\quad n=0,\ldots ,N-1$

• si considera un intervallo di tempo $T_{0}$:

  $T_{0}={\frac {1}{\Delta f}}=NT_{c}={\frac {N}{f_{c}}}$

che includa il supporto $T_{x}$ del segnale $x\left(t\right)$, per evitare l'aliasing nel tempo:

$T_{0}\geq T_{x}$

L'uso della DFT al posto della DTFT permette di lavorare su frequenze discrete e su un numero finito di campioni nel tempo:

${\begin{cases}X\left(f\cdot f_{c}\right)=X\left(f\cdot {\frac {N}{T_{0}}}\right)={\frac {T_{0}}{N}}\cdot X\left(e^{j2\pi f}\right)\\X\left(k\right)=X\left(e^{j2\pi {\frac {k}{N}}}\right)\end{cases}}\Rightarrow X\left({\frac {k}{T_{0}}}\right)={\frac {T_{0}}{N}}X\left(k\right)\quad k=0,\ldots ,N-1$

Aumentando l'intervallo $T_{0}$ su cui si osserva il segnale con la tecnica dell'aggiunta degli zeri (a parità di frequenza di campionamento), si può aumentare la risoluzione in frequenza dello spettro, perché la trasformata di Fourier $X\left({\tfrac {k}{T_{0}}}\right)$ del segnale viene campionata con una minore spaziatura in frequenza $\Delta f={\tfrac {1}{T_{0}}}$.

Parametri

La scelta dei parametri deve essere fatta in modo da limitare l'aliasing nel tempo e in frequenza:

${\begin{cases}T_{0}=NT_{c}\\f_{c}={\frac {1}{T_{c}}}\\\Delta f={\frac {1}{T_{0}}}\end{cases}}$

Esempio di aliasing in frequenza (visibile soprattutto agli estremi), dovuto a frequenza di campionamento $f_{c}$ troppo bassa

Esempio di aliasing nel tempo (visibile soprattutto intorno all'origine), dovuto a intervallo di tempo $T_{0}$ troppo basso