Classificazione dei sistemi a tempo discreto[modifica]
Un sistema per i segnali a tempo discreto è definito tramite la sua relazione ingresso-uscita:
![{\displaystyle y\left(n\right)=L\left[x\left(n\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19e4d40ab6a3cd9def2b7a4945dd83925bbbe25)
Sistemi lineari[modifica]
Un sistema è lineare se soddisfa il principio di sovrapposizione degli effetti:
![{\displaystyle L\left[\alpha _{1}x_{1}\left(n\right)+\alpha _{2}x_{2}\left(n\right)\right]=\alpha _{1}L\left[x_{1}\left(n\right)\right]+\alpha _{2}L\left[x_{2}\left(n\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cc8bf6ce1f5c7d0fd701717255d4c08ff9ae8fe)
Sistemi tempo-invarianti o stazionari[modifica]
Un sistema è tempo-invariante (o stazionario) se un ritardo/anticipo
sull'ingresso
si traduce in un ritardo/anticipo uguale sull'uscita
senza che cambi la forma del segnale di uscita
:
![{\displaystyle L\left[x\left(n-n_{0}\right)\right]=y\left(n-n_{0}\right)\quad \forall n_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39cfe2610e3a58c775ed8be80cd67f372c3b66f6)
Sistemi passivi[modifica]
Un sistema è passivo se a un ingresso
con energia finita
corrisponde un segnale
con energia
minore o uguale all'energia dell'ingresso:

Il sistema è senza perdite se la relazione vale con il segno di uguaglianza: tutta l'energia dell'ingresso
viene conservata:

Sistemi causali[modifica]
Un sistema è causale se l'uscita
non dipende dai valori futuri dell'ingresso
, ma solo da quelli passati e da quello corrente.
Il comportamento di sistemi LTI causali a tempo discreto può essere descritto da un'equazione alle differenze finite e coefficienti costanti, che esprime l'uscita
all'istante corrente come combinazione lineare degli ingressi agli istanti passati e a quello corrente e delle uscite agli istanti passati (di solito
):

- Il sistema è ricorsivo se l'uscita
dipende da almeno un valore dell'uscita in istanti precedenti.
- Il sistema è non ricorsivo se tutti i coefficienti
sono nulli.
L'equazione alle differenze di un sistema causale permette di trovare i valori di
per
, noti i valori di
e le condizioni iniziali
:

Risposta forzata[modifica]
è detta risposta allo stato nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con condizioni iniziali nulle, tenendo conto solo degli ingressi:

Trascurare le condizioni iniziali significa studiare il comportamento del sistema a regime (sistema scarico).
Risposta libera[modifica]
è detta risposta all'ingresso nullo, e rappresenta l'evoluzione del sistema con ingresso nullo, ma tenendo conto delle condizioni iniziali:

Per sistemi LTI stabili,
è anche detta risposta al transitorio perché siccome l'ingresso è nullo tende a smorzarsi nel tempo fino ad annullarsi.
Sistemi senza memoria[modifica]
Un sistema è senza memoria se l'uscita
dipende solo dal valore corrente dell'ingresso
.
Il sistema non ricorsivo:

ha memoria pari a
, perché l'uscita
dipende anche da
valori passati dell'ingresso
.
Risposta all'impulso[modifica]
I sistemi LTI causali scarichi sono caratterizzati da una risposta all'impulso
, che è la risposta del sistema quando in ingresso è presente la sequenza
:
![{\displaystyle h\left(n\right)=L\left[\delta \left(n\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcc14379a1e4bbf1a299958a447ed94297e2bb27)
La risposta all'impulso
lega l'ingresso
e l'uscita
del sistema:

Dimostrazione
![{\displaystyle y\left(n\right)=L\left[x\left(n\right)\right]=L\left[\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x\left(i\right)\delta \left(n-i\right)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d6de6e3f2d481638a72d2595b409028ce42db7)
Sfruttando il fatto che il sistema è lineare:
![{\displaystyle =\sum _{i=-\infty }^{+\infty }x\left(i\right)L\left[\delta \left(n-i\right)\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d71d33d77c683a22fe379c974c46f901b45847)
Sfruttando il fatto che il sistema è tempo-invariante:

Tutti i sistemi LTI possono essere quindi espressi in forma non ricorsiva, dove
.
L'uscita del sistema dipende dai contributi causale (
) e anticausale (
):

Siccome il sistema è causale, la parte anticausale è nulla:

Risposta in frequenza[modifica]
- Ipotesi
e
sono trasformabili mediante DTFT;
- si trascura la risposta al transitorio
.
La DTFT del segnale in uscita
è pari al prodotto delle DTFT del segnale in ingresso
e della risposta all'impulso
del sistema LTI:

La DTFT
della risposta all'impulso
è detta risposta in frequenza del sistema LTI:

Interconnessione di sistemi LTI
Serie
|
|

|
Parallelo
|
|
![{\displaystyle y\left(n\right)=x\left(n\right)*\left[h_{1}\left(n\right)+h_{2}\left(n\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a632052e4f5ba519f74032a39a18d91c23636f41)
|
Con reazione
|
|
![{\displaystyle y\left(n\right)=\left[x\left(n\right)-y\left(n\right)*h_{2}\left(n\right)\right]*h_{1}\left(n\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1d437bf8bd4cc8f7649f9e8d5417652ca0f9fc)
|
Risposta a esponenziali complessi[modifica]
Gli esponenziali complessi sono delle autofunzioni dei sistemi LTI, perché a un ingresso a esponenziale complesso corrisponde ancora un'uscita a esponenziale complesso:
![{\displaystyle x\left(n\right)=e^{j\omega _{0}n}\Rightarrow y\left(n\right)=e^{j\omega _{0}n}H\left(e^{j\omega _{0}}\right)=\left|H\left(e^{j\omega 0}\right)\right|\cdot e^{j\omega _{0}n+j\arg {\left[H\left(e^{j\omega _{0}}\right)\right]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f60068c717cc578b8ebc7cd72f365468125a5b04)
Dimostrazione

Se la risposta all'impulso
è reale, e la sinusoide
è reale:
![{\displaystyle x\left(n\right)=\cos {\left(\omega _{0}n+\theta \right)}\Rightarrow y\left(n\right)=\left|H\left(e^{j\omega _{0}}\right)\right|\cos {\left(\omega _{0}n+\theta +\arg {\left[H\left(e^{j\omega _{0}}\right)\right]}\right)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/505177c324f338d5334584ad0f7e93999cd0c9c4)
L'uscita
di un sistema IIR dipende non solo dal segnale in ingresso
, ma anche dai campioni del segnale in uscita
:

La risposta in frequenza
del sistema si può scrivere:

Sistemi IIR puramente ricorsivi[modifica]
Un sistema IIR è puramente ricorsivo se:

La risposta all'impulso
di un sistema IIR puramente ricorsivo è a supporto illimitato.
- Esempio: risposta all'impulso di un sistema IIR puramente ricorsivo

Calcoli


L'uscita
di un sistema FIR dipende solo dal segnale d'ingresso
:


La risposta all'impulso
di un sistema FIR è a supporto finito
:

Un sistema è stabile secondo il criterio BIBO (o BIBO-stabile) se e solo se ad ogni ingresso
di ampiezza limitata corrisponde un'uscita
di ampiezza limitata:

La risposta al transitorio di un sistema BIBO-stabile tende a smorzarsi al crescere di
.
- Teorema
Un sistema LTI è BIBO-stabile se e solo se la sua risposta all'impulso
è sommabile in modulo:

Dimostrazione condizione sufficiente
Dimostrazione condizione necessaria
Realizzabilità fisica[modifica]
Un sistema LTI è fisicamente realizzabile se l'equazione alle differenze è causale e i coefficienti
e
della sua equazione alle differenze sono tutti reali:

Un sistema è fisicamente realizzabile se la sua risposta all'impulso
è reale e causale:

La risposta in frequenza
di un sistema fisicamente realizzabile è unilatera:

ed ha le seguenti relazioni di parità:
- la parte reale e il modulo sono pari;
- la parte immaginaria e la fase sono dispari.
Esempio: filtro passa-basso[modifica]
Si vogliono confrontare tre sistemi LTI che hanno risposte all'impulso
,
e
:

dove:


|

|

|
La risposta in frequenza
è pari a:


Si introduce come ingresso
una porta:


|

|
Il filtro passa-basso smorza le alte frequenze. L'uscita
appare più simile all'ingresso
con il filtro
:

|

|

|

|
L'ingresso
risulta quindi meno smorzato con il filtro
:




Questo sistema LTI è di tipo passivo perché l'energia dell'uscita
è sempre minore dell'energia dell'ingresso
.
- Se il modulo della risposta in frequenza
non è costante, il sistema introduce una distorsione in ampiezza.
- Se la fase della risposta in frequenza
non è lineare in
, il sistema introduce una distorsione di fase.
Si definisce ritardo di gruppo
il ritardo medio subito dalle componenti armoniche del segnale in ingresso
:
![{\displaystyle \tau \left(\omega \right)=-{\frac {d}{d\omega }}\arg {\left[H\left(e^{j\omega }\right)\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec8f512308a515cea8a5adaab57dca367aeae892)
Sistema LTI non distorcente[modifica]
Si vuole realizzare un amplificatore non distorcente:

dove:
è il tempo impiegato dal segnale in ingresso
per attraversare il sistema (ritardo);
è l'amplificazione.
La sua risposta in frequenza
:

ha:
- modulo
costante;
- rotazione di fase
lineare in
.
La sua risposta all'impulso
:

è una delta di ampiezza
centrata in
.
Se il ritardo di gruppo
è costante, cioè le componenti armoniche nel segnale di ingresso
subiscono lo stesso ritardo costante, allora la fase è lineare e il sistema è non distorcente.
Analisi tramite DFT[modifica]
L'uscita
di un sistema LTI si può ottenere dalla IDTFT del prodotto tra la DTFT dell'ingresso
e la risposta in frequenza
:
![{\displaystyle Y\left(e^{j\omega }\right)=X\left(e^{j\omega }\right)\cdot H\left(e^{j\omega }\right)\Rightarrow y\left(n\right)=x\left(n\right)*h\left(n\right)\quad n\in \left[0,N_{x}+N_{h}-2\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b55569ed9c4d76e06075adf4687f00a40320e96e)
dove
e
sono i supporti rispettivamente di
e
.
Se si vuole sostituire la DTFT con la DFT, la IDFT non restituisce lo stesso risultato:
![{\displaystyle Y\left(k\right)=X\left(k\right)\cdot H\left(k\right)\Rightarrow y\left(n\right)\neq x\left(n\right)\otimes h\left(n\right)\quad n\in \left[0,\max {\left\{N_{x},N_{h}\right\}}-1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3ddde84a5185444ba36b2bb5acce1b7db36fa83)
perché la convoluzione circolare ha un supporto diverso dalla convoluzione lineare.
Per far sì che il risultato coincida con la convoluzione lineare, occorre procedere all'inserimento di zeri (zero padding) nelle due sequenze
e
, in numero tale da garantire la lunghezza di una convoluzione lineare:
![{\displaystyle x_{z}\left(n\right)={\begin{cases}x\left(n\right)&n\in \left[0,N_{x}-1\right]\\0&n\in \left[N_{x},N_{x}+N_{h}-2\right]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e221539aac7dd14876d7ee0186d362e58d3519a0)
![{\displaystyle h_{z}\left(n\right)={\begin{cases}h\left(n\right)&n\in \left[0,N_{h}-1\right]\\0&n\in \left[N_{h},N_{x}+N_{h}-2\right]\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1194080ed2f959aca3fcd7d5443588dba7c9e9f7)
In questo modo la convoluzione circolare ottenuta dalla IDFT coincide con la convoluzione lineare, e quindi con l'uscita del sistema
:

Dimostrazione

Poiché
ha supporto finito
:

- Se
:

- Se
:
![{\displaystyle {\begin{cases}h_{z}\left(n-m\right)=0&m\in \left[0,N_{y}-N_{h}\right]=\left[0,N_{x}-1\right]\\x_{z}\left(m\right)=0&m\geq N_{x}\end{cases}}\Rightarrow x_{z}\left(m\right)h_{z}\left(n-m\right)=0\quad \forall m\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/811559c515ea251c4a4d55b557f9e63dd0a628ce)
- Se
(
):
![{\displaystyle {\begin{cases}h_{z}\left(n-m\right)=0&m\in \left[0,N_{y}+k-N_{h}\right]=\left[0,N_{x}+k-1\right]\\x_{z}\left(m\right)=0&m\geq N_{x}\end{cases}}\Rightarrow x_{z}\left(m\right)h_{z}\left(n-m\right)=0\quad \forall m\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cbe39644f78e7be899606315e5c5e9355d8952)
Se il supporto
viene scelto come potenza di 2, si può impiegare la FFT per il calcolo delle 3 DFT, con complessità finale proporzionale a
, invece della complessità dell'ordine di
operazioni per il calcolo della convoluzione nel dominio del tempo.