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Elaborazione numerica dei segnali/Trasformata di Fourier a tempo discreto

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Indice del libro

Trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT)

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Definizione di DTFT

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La trasformata di Fourier a tempo discreto (DTFT) è la trasformata di Fourier della sequenza :

dove è la pulsazione discreta: .

La DTFT viene indicata con anziché con per distinguerla dalla trasformata di Fourier di un segnale continuo, ma è a tutti gli effetti in funzione della variabile continua .

La DTFT è in realtà il caso particolare per della trasformata di Fourier di un segnale analogico campionato con frequenza di campionamento :

che è periodica di periodo → la DTFT è periodica di periodo:

Inversione della DTFT (IDTFT)

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Siccome la DTFT è periodica, i coefficienti possono essere interpretati come i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier della DTFT:

Trasformata di Fourier a tempo discreto inversa (IDTFT)
Tempo continuo Tempo discreto
in funzione di in funzione di




Condizioni di esistenza

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Se la sequenza è assolutamente sommabile, allora:

  • esiste la sua DTFT:
  • la sua energia è finita:

Proprietà della DTFT

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La DTFT è un operatore lineare:

Ribaltamento

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Un ribaltamento della corrisponde a calcolare la sua DTFT invertendo il segno della frequenza :

Una traslazione del tempo della sequenza corrisponde a moltiplicare la sua DTFT per un esponenziale complesso:

Traslazione in frequenza (modulazione)

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Una traslazione in frequenza della DTFT di una sequenza corrisponde a moltiplicare la sequenza per un esponenziale complesso:

Derivazione in frequenza

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Convoluzione lineare

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La convoluzione tra due sequenze e corrisponde al prodotto tra le singole DTFT:

Il prodotto tra due sequenze e corrisponde alla convoluzione tra le singole DTFT, con estremi di integrazione e grazie al fatto che la DTFT è periodica:

Relazioni di parità

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Se la sequenza è reale vale la simmetria hermitiana per le sue DTFT attorno alle frequenze e :

e quindi entrambe le DTFT hanno le seguenti relazioni di parità:

  • la parte reale è pari:
  • la parte immaginaria è dispari:
  • il modulo è pari:
  • la fase è dispari:

Valore iniziale e somma dei campioni

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Valore iniziale
Somma dei campioni

Ne consegue che sequenze a valor medio nullo hanno DTFT nulla in .

Relazione di Parseval

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La relazione di Parseval nel dominio del tempo discreto ha estremi di integrazione finiti:

Relazione di Parseval generalizzata

Spettro di energia

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Lo spettro di energia dà informazioni sulla distribuzione dell'energia della sequenza nel dominio della frequenza:

Proprietà

Lo spettro di energia :

  • non può essere negativo;
  • se è reale, è reale e pari;
  • è periodico di periodo 1.

DTFT notevoli

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Sequenza DTFT
Sequenza delta
Sequenza costante
Sequenza segno
Sequenza gradino
Sequenza esponenziale
Sequenza cosinusoidale
Sequenza sinusoidale
Sequenza sinc
Sequenza porta

Banda di un segnale a tempo discreto

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Banda assoluta

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La banda assoluta della sequenza è la frequenza , quindi all'interno del singolo periodo della DTFT, per cui la DTFT è identicamente nulla al di fuori dell'intervallo . È l'equivalente della banda unilatera nel dominio del tempo discreto, però si considera solamente un periodo della funzione nel dominio della frequenza (la DTFT ha sempre supporto infinito).

Banda equivalente

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La larghezza di banda è pari alla semilarghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo dello spettro di energia ;
  • la cui area è uguale all'energia complessiva della DTFT, cioè all'area sottesa da all'interno del singolo periodo della DTFT:
che per la relazione di Parseval è anche uguale all'energia della sequenza , data dalla somma di tutti i suoi campioni:

La banda è la frequenza per cui l'intervallo corrisponde all' dell'energia complessiva della sequenza , ovvero all' dell'area sottesa dallo spettro di energia all'interno del singolo periodo della DTFT:

Banda a 3 dB

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La banda a 3 dB è la frequenza a cui l'ampiezza dello spettro di energia si riduce di 3 dB rispetto al suo massimo: