Teoria dei segnali2/Serie e trasformata

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Base canonica[modifica]

Funzione porta[modifica]

Funzione porta (tempo e frequenza).png

è la funzione porta unitaria di supporto centrato nell'origine. Un segnale può essere approssimato con un segnale costante a tratti ottenuto da una combinazione lineare di infinite porte ortogonali tra di loro (cioè con supporto disgiunto):

Se l'approssimazione diventa un'identità:

Seno cardinale[modifica]

Sinc function (normalized).svg

Delta di Dirac[modifica]

Definizione

La delta di Dirac si può costruire come limite di varie funzioni, tra cui:

dove:

Proprietà
  • La delta di Dirac ha area unitaria:
  • Traslare la delta di Dirac significa trovare tutti i campioni che assume la funzione :
  • La delta di Dirac ha energia infinita:
  • La radice della delta di Dirac:
ha energia unitaria:

Definizione della base canonica[modifica]

L'insieme infinito e non numerabile di delta può essere quindi visto come una base canonica non normalizzata per l'insieme dei segnali, cioè un segnale può essere rappresentato come l'insieme dei suoi campioni:

dove gli elementi della base (infiniti e non numerabili) sono:

e i coefficienti (infiniti e non numerabili) sono:

È però una base ortogonale non normalizzata perché ha energia infinita. Le radici della delta invece formano una base ortonormale:

Energia[1]
Prodotto scalare

Tuttavia non conviene usare questa base perché non introduce alcuna semplificazione.

Base alternativa sinusoidale[modifica]

Serie di Fourier[modifica]

Un segnale è a supporto finito se non è nullo solo nell'intervallo .[2] La base canonica per questa classe di segnali è l'insieme dei campioni ristretto al supporto:

Esiste un'altra base ortonormale completa per tutti i segnali complessi ad energia finita e supporto finito, che è un insieme infinito ma, a differenza della base canonica, numerabile:

dove gli elementi della base (infiniti e numerabili) sono:

e i coefficienti (complessi, infiniti e numerabili) sono:

Siccome la base è completa vale l'uguaglianza di Parseval:

Il segnale è in corrispondenza biunivoca con una sequenza infinita di coefficienti, e si può vedere come un vettore a infinite dimensioni:

La base ortonormale introdotta precedentemente è la normalizzazione della seguente base ortogonale:

dove gli elementi della base sono:

e i coefficienti sono:

Usando questa base l'energia vale:

Trasformata di Fourier[modifica]

Segnali a supporto infinito si approssimano con la trasformata di Fourier:

Condizione di esistenza[4]

Nel dominio delle funzioni, il segnale deve essere modulo integrabile:

Alcune trasformate fondamentali[modifica]

Delta di Dirac
Funzione segno
Funzione gradino

Note[modifica]

  1. Si assume un segnale reale.
  2. Si assume che il supporto sia simmetrico rispetto all'origine.
  3. Per semplicità non si considerano alcune condizioni al contorno.
  4. Non si considera l'estensione del dominio delle funzioni al dominio delle distribuzioni.