Teoria dei segnali2/Trasformazioni e spettro di potenza

Trasformazioni lineari di processi casuali

Un sistema deterministico che elabora un processo casuale $X\left(t\right)$ fornisce alla sua uscita un processo casuale $Y\left(t\right)$.

Se il sistema è lineare, la media:

$m_{Y}\left(t\right)\triangleq E\left(Y\left(t\right)\right)$

e la funzione di autocorrelazione:

$R_{Y}\left(t_{1},t_{2}\right)\triangleq E\left(Y\left(t_{1}\right)Y^{*}\left(t_{2}\right)\right)$

dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso $X\left(t\right)$.

Esempi

Integrale

$Y\left(t\right)=\int _{T_{1}}^{t}X\left(\tau \right)d\tau \Rightarrow {\begin{cases}m_{Y}\left(t\right)=\int _{T_{1}}^{t}m_{X}\left(a\right)da\\R_{Y}\left(t_{1},t_{2}\right)=\int _{T_{1}}^{t_{1}}\int _{T_{1}}^{t_{2}}R_{X}\left(a,b\right)dadb\end{cases}}$

Derivata

$Y\left(t\right)={\frac {d}{dt}}X\left(t\right)\Rightarrow {\begin{cases}m_{Y}\left(t\right)={\frac {d}{dt}}m_{X}\left(t\right)\\R_{Y}\left(t_{1},t_{2}\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial t_{1}\partial t_{2}}}R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)\end{cases}}$

---

È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo $X\left(t\right)$ in ingresso è gaussiano, allora il processo $Y\left(t\right)$ in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.

Trasformazioni lineari tempo-invarianti

Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento $H\left(f\right)$, e il processo di ingresso $X\left(t\right)$ è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:

• $m_{Y}=m_{X}H\left(0\right)=m_{X}\int _{-\infty }^{+\infty }h\left(\tau \right)d\tau$
• $R_{Y}\left(\tau \right)=R_{X}\left(\tau \right)*R_{h}\left(\tau \right)$
• $R_{XY}\left(\tau \right)=R_{X}\left(\tau \right)*h\left(\tau \right)$

Si ricorda che la funzione di autocorrelazione $R$ è definita diversamente per i segnali determinati:

$R_{h}\left(\tau \right)\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }h\left(t+\tau \right)h^{*}\left(t\right)dt$

Trasformazioni lineari tempo-varianti

Modulazione di ampiezza

Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso $M\left(t\right)$ (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):

$Y\left(t\right)=\left[a_{0}+a_{1}M\left(t\right)\right]\cos {\left(2\pi f_{0}t+\theta \right)}$

Sotto le ipotesi:

• il processo $M\left(t\right)$ è stazionario in senso lato;
• il valor medio $E\left[M\left(t\right)\right]$ è nullo;

si ottiene:

${\begin{cases}m_{Y}\left(t\right)=a_{1}E\left[M\left(t\right)\right]\cos {\left(2\pi f_{0}t+\varphi \right)}+a_{0}\cos {\left(2\pi f_{0}t+\varphi \right)}\\R_{Y}\left(t_{1},t_{2}\right)=\left[a_{0}^{2}+a_{1}^{2}R_{M}\left(t_{1}-t_{2}\right)\right]\cos {\left(2\pi f_{0}t_{1}+\varphi \right)\cos {\left(2\pi f_{0}t_{2}+\varphi \right)}}\end{cases}}$

Per stazionarizzare il processo in uscita $Y\left(t\right)$, la fase $\varphi$ diventa una variabile casuale uniforme in $\left[-\pi ,\pi \right]$:

${\begin{cases}m_{Y'}\left(t\right)=0\\R_{Y'}\left(t_{1},t_{2}\right)={\frac {1}{2}}\left[a_{0}^{2}+a_{1}^{2}R_{M}\left(\tau \right)\right]\cos {\left(2\pi f_{0}\tau \right)}\end{cases}}$

Modulazione di fase

Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:

$Y\left(t\right)=a_{0}e^{j\left[a_{1}t+a_{2}M\left(t\right)+\theta \right]}\Rightarrow {\begin{cases}m_{Y}\left(t\right)=a_{0}E\left[a_{0}e^{ja_{2}M\left(t\right)}e^{j\left(a_{1}t+\theta \right)}\right]\\R_{Y}\left(t_{1},t_{2}\right)=a_{0}^{2}e^{ja_{1}\left(t_{1}-t_{2}\right)}C_{\xi }\left(a_{2}\right),\quad \xi =M\left(t_{1}\right)-M\left(t_{2}\right)\end{cases}}$

dove $C_{\xi }\left(a\right)$ è la funzione caratteristica:

$C_{\xi }\left(a\right)\triangleq E\left(e^{ja\xi }\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{jax}f_{\xi }\left(x\right)dx$

Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con $\theta$ variabile casuale uniforme in $\left[-\pi ,\pi \right]$:

${\begin{cases}m_{Y'}\left(t\right)=0\\R_{Y'}\left(\tau \right)=a_{0}^{2}e^{ja_{1}\tau }e^{-a_{2}^{2}\left[R_{M}\left(0\right)-R_{M}\left(\tau \right)\right]}\end{cases}}$

Dimostrazione

La funzione caratteristica del processo gaussiano $\xi$ vale:

${\mathcal {F}}\left\{f_{\xi }\left(t\right)\right\}\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }f_{\xi }\left(t\right)e^{-j2\pi ft}dt={\mathcal {F}}\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi {\sigma }_{\xi }^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}{\left[{\frac {t-m_{\xi }}{{\sigma }_{\xi }}}\right]}^{2}}\right\}=e^{-{\frac {1}{2}}{\left(2\pi f{\sigma }_{\xi }\right)}^{2}}e^{-j2\pi fm_{\xi }}\Rightarrow C_{\xi }\left(a_{2}\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }e^{ja_{2}x}f_{\xi }\left(x\right)dx=e^{-{\frac {1}{2}}{\left(a_{2}{\sigma }_{\xi }\right)}^{2}}e^{-ja_{2}m_{\xi }}=$

Siccome $\xi$ è stazionario in senso lato:

$m_{\xi }=E\left(\xi \right)=0$

Inoltre:

${\sigma }_{\xi }^{2}=E\left[\xi ^{2}\right]=E\left[{\left(M\left(t_{1}\right)-M\left(t_{2}\right)\right)}^{2}\right]=E\left[\left(M\left(t_{1}\right)\right)\left(M\left(t_{1}\right)\right)\right]+E\left[\left(M\left(t_{2}\right)\right)\left(M\left(t_{2}\right)\right)\right]-E\left[M\left(t_{1}\right)M\left(t_{2}\right)\right]=R_{M}\left(0\right)+R_{M}\left(0\right)-2R_{M}\left(t_{1}-t_{2}\right)$

$=e^{-a_{2}^{2}\left[R_{M}\left(0\right)-R_{M}\left(\tau \right)\right]}$

Se la sinusoide portante è reale:

$Y\left(t\right)=a_{0}\cos {\left(a_{1}t+a_{2}M\left(t\right)+\theta \right)}$

la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:

$R_{Y'}\left(\tau \right)={\frac {1}{2}}a_{0}^{2}\cos {\left(a_{1}\tau \right)e^{-a_{2}^{2}\left[R_{M}\left(0\right)-R_{M}\left(\tau \right)\right]}}$

Densità spettrale di potenza

La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, $S_{X}\left(f\right)$ di un processo $X\left(t\right)$ stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione $R_{X}\left(\tau \right)$:

$S_{X}\left(f\right)\triangleq {\mathcal {F}}\left\{R_{X}\left(\tau \right)\right\}=\int R_{X}\left(\tau \right)e^{-j2\pi f\tau }d\tau$

Proprietà

• $S_{X}\left(f\right)$ è reale e pari;
• $S_{X}\left(f\right)$ è sempre positiva;
• lo spettro di potenza $S_{Y}\left(\tau \right)$ di un processo $Y\left(t\right)$ stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:

  $R_{Y}\left(\tau \right)=R_{X}\left(\tau \right)*R_{h}\left(\tau \right)\Rightarrow S_{Y}\left(f\right)={\left|H\left(f\right)\right|}^{2}S_{X}\left(f\right)$

• l'integrale di $S_{X}\left(f\right)$ coincide con la potenza media $P\left[X\left(t\right)\right]$ del processo:

  $P\left[X\left(t\right)\right]=\int S_{X}\left(f\right)df=R_{X}\left(0\right)=E\left[X^{2}\left(t\right)\right]$

dove $E\left[X^{2}\left(t\right)\right]$ è il valore quadratico medio del processo.

Interpretazione fisica

Se il sistema LTI è un filtro $H\left(f\right)$ passabanda centrato alla frequenza $f_{0}$ con banda infinitesimale $\Delta$:

la densità spettrale $S_{X}\left(f_{0}\right)$, centrata in $f_{0}$, del processo in ingresso $X\left(f\right)$ è proporzionale alla potenza media del processo in uscita $Y\left(f\right)$:

$E\left[Y^{2}\left(t\right)\right]=\int S_{Y}\left(f\right)df\approx 2\Delta S_{X}\left(f_{0}\right)$

Rumore gaussiano bianco

Il rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura $T$:

• il processo $X\left(t\right)$ è stazionario e gaussiano;
• il valor medio è nullo;
• la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:

  $S_{X}\left(f\right)={\frac {N_{0}}{2}},\quad N_{0}=k_{B}T$

• la funzione di autocorrelazione $R_{X}\left(\tau \right)$:

  $R_{X}\left(\tau \right)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{X}\left(f\right)\right\}={\frac {N_{0}}{2}}\delta \left(\tau \right)$

  • è nulla per $\tau =t_{2}-t_{1}\neq 0$ → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
  • diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo ($\tau =t_{2}-t_{1}=0$) → il processo ha potenza media infinita.

Quando un rumore gaussiano bianco $X\left(t\right)$ entra in un sistema LTI $H\left(f\right)$, il processo di uscita $Y\left(t\right)$ è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:

$S_{Y}\left(f\right)={\left|H\left(f\right)\right|}^{2}S_{X}\left(f\right)={\frac {N_{0}}{2}}{\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$