Teoria dei segnali2/Trasformazioni e spettro di potenza

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Trasformazioni lineari di processi casuali[modifica]

Un sistema deterministico che elabora un processo casuale fornisce alla sua uscita un processo casuale .

Se il sistema è lineare, la media:

e la funzione di autocorrelazione:

dell'uscita sono esprimibili rispettivamente in funzione della media e dell'autocorrelazione dell'ingresso .[1]

Esempi[modifica]

Integrale
Derivata

È spesso molto difficile determinare la distribuzione di probabilità del processo in uscita. Se il processo in ingresso è gaussiano, allora il processo in uscita da un qualsiasi sistema lineare è ancora gaussiano.

Trasformazioni lineari tempo-invarianti[modifica]

Se il sistema è LTI, di funzione di trasferimento , e il processo di ingresso è stazionario in senso lato, valgono le seguenti espressioni:

Si ricorda che la funzione di autocorrelazione è definita diversamente per i segnali determinati:

Trasformazioni lineari tempo-varianti[modifica]

Modulazione di ampiezza[modifica]

Il segnale analogico è rappresentato dal processo in ingresso (messaggio). Nella modulazione di ampiezza, il messaggio modula l'ampiezza della sinusoide portante (segnale determinato):

Sotto le ipotesi:

  • il processo è stazionario in senso lato;
  • il valor medio è nullo;

si ottiene:

Per stazionarizzare il processo in uscita , la fase diventa una variabile casuale uniforme in :

Modulazione di fase[modifica]

Nella modulazione di fase, il messaggio modula la fase della sinusoide portante:

dove è la funzione caratteristica:

Nel caso di un processo gaussiano, stazionarizzando con variabile casuale uniforme in :

Se la sinusoide portante è reale:

la funzione di autocorrelazione (sempre nel caso gaussiano) vale:

Densità spettrale di potenza[modifica]

La densità spettrale di potenza, o spettro di potenza, di un processo stazionario in senso lato è la trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione :

Proprietà[modifica]

  • è reale e pari;
  • è sempre positiva;
  • lo spettro di potenza di un processo stazionario in senso lato in uscita da un sistema LTI è:
  • l'integrale di coincide con la potenza media del processo:
dove è il valore quadratico medio del processo.

Interpretazione fisica[modifica]

Se il sistema LTI è un filtro passabanda centrato alla frequenza con banda infinitesimale :

Power spectrum physical interpretation.png

la densità spettrale , centrata in , del processo in ingresso è proporzionale alla potenza media del processo in uscita :

Rumore gaussiano bianco[modifica]

WGN power spectrum.png

Il rumore gaussiano bianco (WGN) è un modello teorico per il processo termico generato ai capi di una resistenza a temperatura :

  • il processo è stazionario e gaussiano;
  • il valor medio è nullo;
  • la densità spettrale di potenza è costante con la frequenza:
  • la funzione di autocorrelazione :
    • è nulla per → qualsiasi coppia di campioni non prelevati allo stesso istante è scorrelata, e quindi statisticamente indipendente;
    • diverge se la coppia di campioni è prelevata nello stesso istante di tempo () → il processo ha potenza media infinita.

Quando un rumore gaussiano bianco entra in un sistema LTI , il processo di uscita è gaussiano colorato (CGN) con spettro di potenza non più costante:

Note[modifica]

  1. Sotto certe condizioni sul processo di ingresso e sulle sue statistiche del secondo ordine.