Un sistema è un blocco che trasforma un segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
y
(
t
)
=
T
{
x
(
t
)
}
{\displaystyle y\left(t\right)={\mathcal {T}}\left\{x\left(t\right)\right\}}
È una relazione deterministica: a un certo segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
Un sistema è lineare se vale il principio di sovrapposizione degli effetti:
T
{
a
1
x
1
(
t
)
+
a
2
x
2
(
t
)
}
=
a
1
T
{
x
1
(
t
)
}
+
a
2
T
{
x
2
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a_{1}x_{1}\left(t\right)+a_{2}x_{2}\left(t\right)\right\}=a_{1}{\mathcal {T}}\left\{x_{1}\left(t\right)\right\}+a_{2}{\mathcal {T}}\left\{x_{2}\left(t\right)\right\}}
La trasformata di Fourier è un sistema lineare.
Un sistema è tempo-invariante se un ritardo sugli ingressi si traduce in un ritardo sulle uscite:
T
{
x
(
t
−
θ
)
}
=
y
(
t
−
θ
)
{\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{x\left(t-\theta \right)\right\}=y\left(t-\theta \right)}
Un sistema è causale se l'uscita in un certo istante
t
0
{\displaystyle t_{0}}
y
(
t
0
)
=
T
{
x
(
t
)
|
−
∞
t
0
}
∀
t
0
{\displaystyle y\left(t_{0}\right)={\mathcal {T}}\left\{\left.x\left(t\right)\right\vert _{-\infty }^{t_{0}}\right\}\quad \forall t_{0}}
Un sistema è senza memoria se l'uscita
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
t
0
{\displaystyle t_{0}}
y
(
t
0
)
=
T
{
x
(
t
0
)
}
∀
t
0
{\displaystyle y\left(t_{0}\right)={\mathcal {T}}\left\{x\left(t_{0}\right)\right\}\quad \forall t_{0}}
Un sistema è reale se a un ingresso reale corrisponde un'uscita reale.
Un sistema è fisicamente realizzabile se è causale e reale.
Un sistema è stabile se a un ingresso limitato in ampiezza corrisponde un'uscita limitata in ampiezza, e per questo motivo viene detto Bounded Input Bounded Output (BIBO):
∀
x
(
t
)
:
|
x
(
t
)
|
∈
R
,
∀
t
⇒
|
y
(
t
)
|
∈
R
,
∀
t
{\displaystyle \forall x\left(t\right):\,\left|x\left(t\right)\right|\in \mathbb {R} ,\,\forall t\Rightarrow \left|y\left(t\right)\right|\in \mathbb {R} ,\,\forall t}
I sistemi lineari tempo-invarianti (LTI) possono essere descritti da un'unica funzione
h
(
t
)
{\displaystyle h\left(t\right)}
y
(
t
)
=
T
{
x
(
t
)
}
=
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)={\mathcal {T}}\left\{x\left(t\right)\right\}=x\left(t\right)*h\left(t\right)}
dove:
h
(
t
)
≜
T
{
δ
(
t
)
}
{\displaystyle h\left(t\right)\triangleq {\mathcal {T}}\left\{\delta \left(t\right)\right\}}
Dimostrazione
Ogni segnale è ottenibile come combinazione lineare dell'insieme di delta:
x
(
t
)
=
∫
x
(
u
)
δ
(
t
−
u
)
d
u
{\displaystyle x\left(t\right)=\int x\left(u\right)\delta \left(t-u\right)du}
Perciò:
y
(
t
)
=
T
{
x
(
t
)
}
=
T
{
∫
x
(
u
)
δ
(
t
−
u
)
d
u
}
=
{\displaystyle y\left(t\right)={\mathcal {T}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\mathcal {T}}\left\{\int x\left(u\right)\delta \left(t-u\right)du\right\}=}
Poiché il sistema
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
=
∫
x
(
u
)
L
{
δ
(
t
−
u
)
}
d
u
=
{\displaystyle =\int x\left(u\right){\mathcal {L}}\left\{\delta \left(t-u\right)\right\}du=}
Poiché il sistema
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
=
∫
x
(
u
)
h
(
t
−
u
)
d
u
=
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
{\displaystyle =\int x\left(u\right)h\left(t-u\right)du=x\left(t\right)*h\left(t\right)}
La trasformata di Fourier dell'uscita di un sistema LTI vale:
Y
(
f
)
=
F
{
T
{
x
(
t
)
}
}
=
H
(
f
)
X
(
f
)
{\displaystyle Y\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{{\mathcal {T}}\left\{x\left(t\right)\right\}\right\}=H\left(f\right)X\left(f\right)}
dove
H
(
f
)
{\displaystyle H\left(f\right)}
funzione di trasferimento :
H
(
f
)
=
Y
(
f
)
X
(
f
)
{\displaystyle H\left(f\right)={\frac {Y\left(f\right)}{X\left(f\right)}}}
I sistemi LTI non alterano la frequenza di un segnale sinusoidale posto all'ingresso, ma solo la fase e l'ampiezza → le sinusoidi sono autofunzioni di un sistema LTI: l'uscita di una sinusoide è la sinusoide stessa moltiplicata per una costante (complessa → modulo e fase).
La risposta all'impulso
h
(
t
)
{\displaystyle h\left(t\right)}
t
<
0
{\displaystyle t<0}
h
(
t
)
=
u
(
t
)
h
(
t
)
{\displaystyle h\left(t\right)=u\left(t\right)h\left(t\right)}
Dimostrazione
y
(
t
)
=
x
(
t
)
∗
h
(
t
)
=
∫
−
∞
+
∞
y
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
=
{\displaystyle y\left(t\right)=x\left(t\right)*h\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }y\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau =}
Siccome il sistema è causale:
=
∫
−
∞
t
y
(
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
=
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
u
(
t
−
τ
)
h
(
t
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle =\int _{-\infty }^{t}y\left(\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau =\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right)u\left(t-\tau \right)h\left(t-\tau \right)d\tau }
La risposta all'impulso
h
(
t
)
{\displaystyle h\left(t\right)}
H
(
f
)
{\displaystyle H\left(f\right)}
parte reale pari;
parte immaginaria dispari;
modulo pari;
fase dispari. Un sistema LTI è stabile se e solo se la risposta all'impulso
h
(
t
)
{\displaystyle h\left(t\right)}
stabile
⇔
∫
|
h
(
t
)
|
d
t
∈
R
⇒
|
H
(
f
)
|
∈
R
{\displaystyle {\text{stabile}}\,\Leftrightarrow \int \left|h\left(t\right)\right|dt\in \mathbb {R} \Rightarrow \left|H\left(f\right)\right|\in \mathbb {R} }
Filtro RC con una porta di ingresso
v
2
(
t
)
=
R
i
(
t
)
+
v
1
(
t
)
=
R
C
d
v
1
(
t
)
d
t
+
v
1
(
t
)
{\displaystyle v_{2}\left(t\right)=Ri\left(t\right)+v_{1}\left(t\right)=RC{\frac {dv_{1}\left(t\right)}{dt}}+v_{1}\left(t\right)}
V
2
(
f
)
=
(
1
+
j
2
π
f
R
C
)
V
1
(
f
)
⇒
H
(
f
)
=
1
1
+
j
2
π
f
R
C
{\displaystyle V_{2}\left(f\right)=\left(1+j2\pi fRC\right)V_{1}\left(f\right)\Rightarrow H\left(f\right)={\frac {1}{1+j2\pi fRC}}}
Canale radio con eco Un segnale radio quando viene trasmesso si propaga in tutte le direzioni, e viene riflesso dagli oggetti fisici dell'ambiente, detti scatterer. Gli echi arrivano perciò al ricevitore ognuno con un certo ritardo
τ
i
{\displaystyle {\tau }_{i}}
α
i
{\displaystyle {\alpha }_{i}}
δ
{\displaystyle \delta }
h
(
t
)
{\displaystyle h\left(t\right)}
h
(
t
)
=
∑
i
=
1
P
α
i
δ
(
t
−
τ
i
)
{\displaystyle h\left(t\right)=\sum _{i=1}^{P}{\alpha }_{i}\delta \left(t-{\tau }_{i}\right)}
dove
P
{\displaystyle P}
La sua trasformata
H
(
f
)
{\displaystyle H\left(f\right)}
H
(
f
)
=
∑
i
=
1
P
α
i
e
−
j
2
π
f
τ
i
{\displaystyle H\left(f\right)=\sum _{i=1}^{P}{\alpha }_{i}e^{-j2\pi f{\tau }_{i}}}
Si dimostra che il suo modulo al quadrato vale:
|
H
(
f
)
|
2
=
∑
i
=
1
P
|
α
i
|
2
+
∑
i
=
1
P
∑
k
>
1
k
=
1
P
2
α
i
α
k
cos
(
2
π
f
Δ
τ
i
k
)
{\displaystyle {\left|H\left(f\right)\right|}^{2}=\sum _{i=1}^{P}{\left|{\alpha }_{i}\right|}^{2}+\sum _{i=1}^{P}\sum _{\overset {\scriptstyle k=1}{\scriptstyle k>1}}^{P}2{\alpha }_{i}{\alpha }_{k}\cos {\left(2\pi f\Delta {\tau }_{ik}\right)}}
Se
P
=
1
{\displaystyle P=1}
|
H
(
f
)
|
=
|
α
1
|
{\displaystyle \left|H\left(f\right)\right|=\left|{\alpha }_{1}\right|}
Se
P
=
2
{\displaystyle P=2}
|
H
(
f
)
|
2
=
|
α
1
|
2
+
|
α
2
|
2
+
2
α
1
α
2
cos
(
2
π
f
Δ
τ
12
)
{\displaystyle {\left|H\left(f\right)\right|}^{2}={\left|{\alpha }_{1}\right|}^{2}+{\left|{\alpha }_{2}\right|}^{2}+2{\alpha }_{1}{\alpha }_{2}\cos {\left(2\pi f\Delta {\tau }_{12}\right)}}
![{\displaystyle Y\left(f\right)=X\left(f\right)H\left(f\right)={\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)\right]H\left(f\right)={\frac {1}{2}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)H\left(f_{0}\right)+\delta \left(f+f_{0}\right)H\left(-f_{0}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1ec668906045dc2d9c16ba7e639590a16ab2af)
![{\displaystyle y\left(t\right)={\frac {1}{2}}\left[H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}+H\left(-f_{0}\right)e^{-j2\pi f_{0}t}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c91434cda2dffb86de496a238406938f3d00103c)
![{\displaystyle =\Re {\left\{H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}}=\left|H\left(f_{0}\right)\right|\cos {\left[2\pi f_{0}t+\arg {X\left(f_{0}\right)}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c09ace8e5e37c7be618641252a8f741b39b9d66)
![{\displaystyle Y\left(f\right)=X\left(f\right)H\left(f\right)={\frac {1}{2j}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)-\delta \left(f+f_{0}\right)\right]H\left(f\right)={\frac {1}{2j}}\left[\delta \left(f-f_{0}\right)H\left(f_{0}\right)-\delta \left(f+f_{0}\right)H\left(-f_{0}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36dc869d3decf60aaa9b3895f8ab5651e4defcd)
![{\displaystyle y\left(t\right)={\frac {1}{2j}}\left[H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}-H\left(-f_{0}\right)e^{-j2\pi f_{0}t}\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2881dfa318498533449706ed62a17c1e57b79705)
![{\displaystyle =\Im {\left\{H\left(f_{0}\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}}=\left|H\left(f_{0}\right)\right|\sin {\left[2\pi f_{0}t+\arg {X\left(f_{0}\right)}\right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccad5d4ccce0c892e446cfa44fd3f7ead29fb242)
