Teoria dei segnali2/Medie temporali ed ergodicità

Se il processo è ergodico, è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.

Media

Media d'insieme di un processo casuale

Dato un processo casuale $X\left(t\right)$ ed una qualsiasi funzione $g$, la media d'insieme:

$E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }g\left(x\left(t\right)\right)f_{X}\left(x\left(t\right)\right)dx$

su un insieme "discreto" di realizzazioni si può interpretare come la media pesata delle realizzazioni del processo $X\left(t\right)$, e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:

$E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\sideset {}{_{i}}\sum {g\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]P\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]}$

Media temporale

Media temporale di un segnale determinato

Dato un segnale determinato $x\left(t\right)$ ed una qualsiasi funzione $g$, l'operatore di media temporale è definito:

$\langle g\left[x\left(t\right)\right]\rangle \triangleq \lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x\left(t\right)\right]dt$

Valor medio

${\overline {x}}=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}x\left(t\right)dt=\langle x\left(t\right)\rangle$

Potenza media

$P\left(x\right)=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt=\langle {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}\rangle$

Media temporale di più segnali determinati

La media temporale di una funzione $g$ di $n$ segnali $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}$, valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di $n-1$ variabili $\tau _{1},\tau _{2},\ldots ,\tau _{n-1}$ (la variabile $t$ viene integrata):

$\langle g\left[x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t+\tau _{1}\right),\ldots ,x_{n}\left(t+\tau _{n-1}\right)\right]\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t+\tau _{1}\right),\ldots ,x_{n}\left(t+\tau _{n-1}\right)\right]dt$

Media temporale di una realizzazione

Siccome una specifica realizzazione $g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]$ di un processo casuale $X\left(t\right)$ è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:

$\langle g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]dt$

Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.

Esempio: Potenza

La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:

$\langle g\left[x\left(t\right)\right]\rangle =\langle {\left|x\left(t;s_{0}\right)\right|}^{2}\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{\left|x\left(t;s_{0}\right)\right|}^{2}dt$

La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:

$\left.E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]\right\vert _{t=t_{i}}=E\left({\left|X\left(t_{i}\right)\right|}^{2}\right)$

Ergodicità per la media

Un processo $X\left(t\right)$ è ergodico per la media se la sua media d'insieme coincide con la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione:

$E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\langle g\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]\rangle \quad \forall i$

Nel caso di $g$ funzione identità, se l'autocovarianza $K_{X}\left(\tau \right)$ è modulo integrabile il processo $X\left(t\right)$ è ergodico per la media.

Ergodicità per la media e stazionarietà

• Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
• Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1 se la sua media d'insieme è costante nel tempo.

L'ergodicità per la media implica la stazionarietà per la media, ma la stazionarietà per la media non implica l'ergodicità per la media.

Esempi

• se il processo ${\mathcal {P}}$ contiene tutte le traslazioni di un segnale $x\left(t\right)$, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:

${\mathcal {P}}=\left\{x\left(t+t_{1}\right)\quad \forall t_{1}\right\}$

• se il processo ${\mathcal {P}}$ contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di $x\left(t\right)$ o di $y\left(t\right)$:

${\mathcal {P}}=\left\{x\left(t+t_{1}\right),y\left(t+t_{2}\right)\quad \forall t_{1},t_{2}\right\}$

• segnale vocale: non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
• rumore termico a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.

Autocorrelazione

Si ricorda che esistono due diverse definizioni per l'autocorrelazione a seconda se si parli di segnali determinati o di processi casuali:

• autocorrelazione per segnali determinati a potenza finita:

  $\Phi _{x}\left(\tau \right)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{G_{x}\left(f\right)\right\}=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)dt=\langle x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)\rangle$

• autocorrelazione per processi casuali:

  $R_{X}\left(\tau \right)\triangleq E\left(X\left(t\right)X^{*}\left(t+\tau \right)\right)$

Ergodicità per l'autocorrelazione

Un processo $X\left(t\right)$ è ergodico per l'autocorrelazione se la sua autocorrelazione $R_{X}\left(\tau \right)$ coincide con l'autocorrelazione $\Phi _{x}\left(\tau \right)$ di una sua qualsiasi realizzazione:

$R_{X}\left(\tau \right)=\Phi _{x}\left(\tau \right)\quad \forall i$

dove $\Phi _{x}\left(\tau \right)$ è l'autocorrelazione della realizzazione $X\left(t;s_{i}\right)$:

$\Phi _{x}\left(\tau \right)=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}X\left(t+\tau ;s_{i}\right)X^{*}\left(t;s_{i}\right)dt$

Se il processo $X\left(t\right)$ è ergodico per l'autocorrelazione, allora lo spettro di potenza $S_{X}\left(f\right)$ può essere valutato a partire da una sua qualsiasi realizzazione:

$S_{X}\left(f\right)\triangleq {\mathcal {F}}\left\{R_{X}\left(\tau \right)\right\}=G_{x}\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{\Phi _{x}\left(\tau \right)\right\}$

Ergodicità per l'autocorrelazione e stazionarietà

• Il processo è stazionario per la sua autocorrelazione $\Phi _{x}\left(\tau \right)$ se questa non dipende dalla realizzazione.
• Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2 se la sua autocorrelazione $R_{X}\left(\tau \right)$ dipende solo da $\tau$.

L'ergodicità per l'autocorrelazione implica la stazionarietà per l'autocorrelazione, ma la stazionarietà per l'autocorrelazione non implica l'ergodicità per l'autocorrelazione.