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Se il processo è ergodico , è sufficiente una sua qualunque realizzazione per estrarne le statistiche. Il sistema che genera il processo può evolvere attraverso tutti i suoi possibili stati partendo da una qualsiasi condizione iniziale.
Media d'insieme di un processo casuale [ modifica ]
Dato un processo casuale
X
(
t
)
{\displaystyle X\left(t\right)}
ed una qualsiasi funzione
g
{\displaystyle g}
, la media d'insieme :
E
[
g
(
X
(
t
)
)
]
=
∫
−
∞
+
∞
g
(
x
(
t
)
)
f
X
(
x
(
t
)
)
d
x
{\displaystyle E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }g\left(x\left(t\right)\right)f_{X}\left(x\left(t\right)\right)dx}
su un insieme "discreto" di realizzazioni si può interpretare come la media pesata delle realizzazioni del processo
X
(
t
)
{\displaystyle X\left(t\right)}
, e a differenza della media temporale restituisce un valore dipendente dal tempo:
E
[
g
(
X
(
t
)
)
]
=
∑
∑
i
g
[
x
(
t
;
s
i
)
]
P
[
x
(
t
;
s
i
)
]
{\displaystyle E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\sideset {}{_{i}}\sum {g\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]P\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]}}
Media temporale [ modifica ]
Media temporale di un segnale determinato [ modifica ]
Dato un segnale determinato
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
ed una qualsiasi funzione
g
{\displaystyle g}
, l'operatore di media temporale è definito:[1]
⟨
g
[
x
(
t
)
]
⟩
≜
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
2
+
T
2
g
[
x
(
t
)
]
d
t
{\displaystyle \langle g\left[x\left(t\right)\right]\rangle \triangleq \lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x\left(t\right)\right]dt}
Valor medio
x
¯
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
2
+
T
2
x
(
t
)
d
t
=
⟨
x
(
t
)
⟩
{\displaystyle {\overline {x}}=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}x\left(t\right)dt=\langle x\left(t\right)\rangle }
Potenza media
P
(
x
)
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
2
+
T
2
|
x
(
t
)
|
2
d
t
=
⟨
|
x
(
t
)
|
2
⟩
{\displaystyle P\left(x\right)=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt=\langle {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}\rangle }
Media temporale di più segnali determinati [ modifica ]
La media temporale di una funzione
g
{\displaystyle g}
di
n
{\displaystyle n}
segnali
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
, valutati a istanti di tempo anche differenti, è una funzione di
n
−
1
{\displaystyle n-1}
variabili
τ
1
,
τ
2
,
…
,
τ
n
−
1
{\displaystyle \tau _{1},\tau _{2},\ldots ,\tau _{n-1}}
(la variabile
t
{\displaystyle t}
viene integrata):
⟨
g
[
x
1
(
t
)
,
x
2
(
t
+
τ
1
)
,
…
,
x
n
(
t
+
τ
n
−
1
)
]
⟩
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
2
+
T
2
g
[
x
1
(
t
)
,
x
2
(
t
+
τ
1
)
,
…
,
x
n
(
t
+
τ
n
−
1
)
]
d
t
{\displaystyle \langle g\left[x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t+\tau _{1}\right),\ldots ,x_{n}\left(t+\tau _{n-1}\right)\right]\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x_{1}\left(t\right),x_{2}\left(t+\tau _{1}\right),\ldots ,x_{n}\left(t+\tau _{n-1}\right)\right]dt}
Media temporale di una realizzazione [ modifica ]
Siccome una specifica realizzazione
g
[
x
(
t
;
s
0
)
]
{\displaystyle g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]}
di un processo casuale
X
(
t
)
{\displaystyle X\left(t\right)}
è un segnale determinato, anche ad esso è possibile applicare l'operatore di media temporale:
⟨
g
[
x
(
t
;
s
0
)
]
⟩
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
2
+
T
2
g
[
x
(
t
;
s
0
)
]
d
t
{\displaystyle \langle g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{+{\frac {T}{2}}}g\left[x\left(t;s_{0}\right)\right]dt}
Il processo è stazionario per la sua media temporale se questa non dipende dalla realizzazione.
Esempio: Potenza
La media temporale è la potenza istantanea di una certa realizzazione:
⟨
g
[
x
(
t
)
]
⟩
=
⟨
|
x
(
t
;
s
0
)
|
2
⟩
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
2
T
2
|
x
(
t
;
s
0
)
|
2
d
t
{\displaystyle \langle g\left[x\left(t\right)\right]\rangle =\langle {\left|x\left(t;s_{0}\right)\right|}^{2}\rangle =\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}{\left|x\left(t;s_{0}\right)\right|}^{2}dt}
La media d'insieme è legata alla potenza media del processo:[non chiaro ]
E
[
g
(
X
(
t
)
)
]
|
t
=
t
i
=
E
(
|
X
(
t
i
)
|
2
)
{\displaystyle \left.E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]\right\vert _{t=t_{i}}=E\left({\left|X\left(t_{i}\right)\right|}^{2}\right)}
Ergodicità per la media [ modifica ]
Un processo
X
(
t
)
{\displaystyle X\left(t\right)}
è ergodico per la media se la sua media d'insieme coincide con la media temporale di una sua qualsiasi realizzazione:
E
[
g
(
X
(
t
)
)
]
=
⟨
g
[
x
(
t
;
s
i
)
]
⟩
∀
i
{\displaystyle E\left[g\left(X\left(t\right)\right)\right]=\langle g\left[x\left(t;s_{i}\right)\right]\rangle \quad \forall i}
Nel caso di
g
{\displaystyle g}
funzione identità, se l'autocovarianza
K
X
(
τ
)
{\displaystyle K_{X}\left(\tau \right)}
è modulo integrabile il processo
X
(
t
)
{\displaystyle X\left(t\right)}
è ergodico per la media.
Ergodicità per la media e stazionarietà [ modifica ]
L'ergodicità per la media implica la stazionarietà per la media, ma la stazionarietà per la media non implica l'ergodicità per la media.
Esempi
se il processo
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
contiene tutte le traslazioni di un segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo è ergodico:
P
=
{
x
(
t
+
t
1
)
∀
t
1
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{x\left(t+t_{1}\right)\quad \forall t_{1}\right\}}
se il processo
P
{\displaystyle {\mathcal {P}}}
contiene tutte le traslazioni di due segnali diversi
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
e
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
, e tutte le traslazioni hanno la stessa probabilità, allora il processo non è ergodico perché una qualsiasi realizzazione può essere la traslazione o di
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
o di
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
:
P
=
{
x
(
t
+
t
1
)
,
y
(
t
+
t
2
)
∀
t
1
,
t
2
}
{\displaystyle {\mathcal {P}}=\left\{x\left(t+t_{1}\right),y\left(t+t_{2}\right)\quad \forall t_{1},t_{2}\right\}}
segnale vocale:[2] non è ergodico perché una persona non può fisicamente generare tutti i segnali generabili da un qualunque essere umano;
rumore termico[3] a una temperatura data: è ergodico perché non dipende dalla resistenza scelta.
Autocorrelazione [ modifica ]
Si ricorda che esistono due diverse definizioni per l'autocorrelazione a seconda se si parli di segnali determinati o di processi casuali:
autocorrelazione per segnali determinati a potenza finita:
Φ
x
(
τ
)
=
F
−
1
{
G
x
(
f
)
}
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
2
T
2
x
(
t
+
τ
)
x
∗
(
t
)
d
t
=
⟨
x
(
t
+
τ
)
x
∗
(
t
)
⟩
{\displaystyle \Phi _{x}\left(\tau \right)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{G_{x}\left(f\right)\right\}=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)dt=\langle x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)\rangle }
autocorrelazione per processi casuali:
R
X
(
τ
)
≜
E
(
X
(
t
)
X
∗
(
t
+
τ
)
)
{\displaystyle R_{X}\left(\tau \right)\triangleq E\left(X\left(t\right)X^{*}\left(t+\tau \right)\right)}
Ergodicità per l'autocorrelazione [ modifica ]
Un processo
X
(
t
)
{\displaystyle X\left(t\right)}
è ergodico per l'autocorrelazione se la sua autocorrelazione
R
X
(
τ
)
{\displaystyle R_{X}\left(\tau \right)}
coincide con l'autocorrelazione
Φ
x
(
τ
)
{\displaystyle \Phi _{x}\left(\tau \right)}
di una sua qualsiasi realizzazione:
R
X
(
τ
)
=
Φ
x
(
τ
)
∀
i
{\displaystyle R_{X}\left(\tau \right)=\Phi _{x}\left(\tau \right)\quad \forall i}
dove
Φ
x
(
τ
)
{\displaystyle \Phi _{x}\left(\tau \right)}
è l'autocorrelazione della realizzazione
X
(
t
;
s
i
)
{\displaystyle X\left(t;s_{i}\right)}
:
Φ
x
(
τ
)
=
lim
T
→
+
∞
1
T
∫
−
T
2
T
2
X
(
t
+
τ
;
s
i
)
X
∗
(
t
;
s
i
)
d
t
{\displaystyle \Phi _{x}\left(\tau \right)=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}X\left(t+\tau ;s_{i}\right)X^{*}\left(t;s_{i}\right)dt}
Se il processo
X
(
t
)
{\displaystyle X\left(t\right)}
è ergodico per l'autocorrelazione, allora lo spettro di potenza
S
X
(
f
)
{\displaystyle S_{X}\left(f\right)}
può essere valutato a partire da una sua qualsiasi realizzazione:
S
X
(
f
)
≜
F
{
R
X
(
τ
)
}
=
G
x
(
f
)
=
F
{
Φ
x
(
τ
)
}
{\displaystyle S_{X}\left(f\right)\triangleq {\mathcal {F}}\left\{R_{X}\left(\tau \right)\right\}=G_{x}\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{\Phi _{x}\left(\tau \right)\right\}}
Ergodicità per l'autocorrelazione e stazionarietà [ modifica ]
Il processo è stazionario per la sua autocorrelazione
Φ
x
(
τ
)
{\displaystyle \Phi _{x}\left(\tau \right)}
se questa non dipende dalla realizzazione.
Il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2 se la sua autocorrelazione
R
X
(
τ
)
{\displaystyle R_{X}\left(\tau \right)}
dipende solo da
τ
{\displaystyle \tau }
.
L'ergodicità per l'autocorrelazione implica la stazionarietà per l'autocorrelazione, ma la stazionarietà per l'autocorrelazione non implica l'ergodicità per l'autocorrelazione.
↑ Da non confondere con l'operatore di prodotto scalare.
↑ Un segnale vocale è l'insieme dei segnali generabili dall'apparato fonatorio di un umano.
↑ Il rumore termico è l'insieme dei segnali generabili da una qualsiasi resistenza posta a temperatura
T
{\displaystyle T}
.