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Teoria dei segnali2/Diagrammi a blocchi

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Indice del libro

Diagrammi a blocchi

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Un diagramma a blocchi è un sistema LTI costituito da un insieme di sistemi LTI interconnessi tramite dei blocchi fondamentali.

Blocchi fondamentali
Sommatore
Ritardatore

Amplificatore

Tipi di interconnessione
Serie
Parallelo
Retroazione (o feedback)

Con ritardatori e amplificatori opportunamente concatenati si possono ottenere sistemi LTI con funzioni di trasferimento desiderate nella forma:

  • senza retroazione (FIR):
  • con retroazione (IIR):

Definizioni di banda

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La banda di un segnale o di un sistema[1] può essere definita in vari modi a seconda del contesto applicativo.

Siccome la trasformata di Fourier di un segnale o di un sistema reale è pari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle ordinate, spesso si considera solo la parte positiva dell'asse delle frequenze misurando la banda unilatera, che equivale alla metà della banda bilatera.

Misura del supporto

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La larghezza di banda è pari al supporto del segnale nel dominio della frequenza, cioè all'intervallo di frequenze in cui il segnale non è nullo.

Spesso la definizione di banda come misura del supporto della trasformata di Fourier è troppo restrittiva, perché molti segnali e sistemi hanno in realtà una trasformata di Fourier con supporto infinito. Molti sistemi tuttavia presentano un intervallo di frequenze dove la funzione di trasferimento è quasi nulla.

Banda a 3 dB

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Questa definizione è usata in particolare quando si parla di filtri.

Su scala lineare ()

La larghezza di banda è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore e la frequenza di taglio superiore :

  • la frequenza di taglio inferiore corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo ;
  • la frequenza di taglio superiore corrisponde a un dimezzamento rispetto al valore massimo .
Su scala logaritmica ()

La larghezza di banda è pari all'intervallo di frequenze compreso tra la frequenza di taglio inferiore e la frequenza di taglio superiore :

  • la frequenza di taglio inferiore corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo ;
  • la frequenza di taglio superiore corrisponde a un'attenuazione di 3 dB rispetto al valore massimo .
Classificazione dei filtri
  • filtro passa-basso (detto banda base): il filtro ha banda finita centrata intorno all'origine (DC);
  • filtro passa-banda: il filtro ha banda finita, che non include l'origine;
  • filtro passa-alto: il filtro ha banda infinita, che non include l'origine;
  • filtro elimina-banda: il filtro ha banda infinita, e non include un certo intervallo di frequenze.

Gli ultimi due tipi di filtri sono ideali perché non esistono filtri a banda infinita.

Per filtro ideale si intende quello che presenta le migliori caratteristiche possibili:

  • guadagno unitario nella banda passante;
  • guadagno nullo nella banda attenuata (o oscura).

I filtri ideali non sono realizzabili.

Banda equivalente di rumore

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La larghezza di banda è pari alla larghezza del rettangolo:

  • la cui altezza è pari al massimo di ;
  • la cui area è uguale all'energia complessiva della funzione di trasferimento, cioè all'area di sull'intero asse delle frequenze:

Banda che contiene una data percentuale di energia

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La larghezza di banda è pari al supporto della parte di grafico la cui energia corrisponde all' dell'energia complessiva della funzione di trasferimento, ovvero dell'area di sull'intero asse delle frequenze:

Estensione di frequenza

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La banda è l'estensione di frequenza :

Per approfondire, vedi 3. Proprietà trasformata.

Distorsione lineare

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La distorsione lineare è il fenomeno che modifica la forma del segnale di ingresso di un sistema LTI: le sinusoidi che passano per un sistema LTI non sono tutte moltiplicate per uno stesso valore costante. Un sistema LTI non presenta distorsione lineare se introduce solo un'amplificazione e/o un ritardo, senza modificare la forma:

cioè la funzione di trasferimento del sistema deve avere modulo costante e fase lineare:

I blocchi fondamentali ideali, amplificatore e ritardatore, qualsiasi frequenza si consideri non introducono alcuna distorsione lineare. Nella realtà non è possibile realizzare un sistema non distorcente ideale, ma si possono realizzare dei sistemi che non introducono distorsione limitatamente a una certa banda.

Una distorsione lineare è eliminabile con un equalizzatore posto in serie. Ad esempio, se un segnale viene distorto da un canale, cioè un sistema LTI la cui funzione di trasferimento non è modificabile, è possibile porre in serie un equalizzatore che abbia una funzione di trasferimento con a denominatore proprio (che si semplifica nel prodotto delle funzioni di trasferimento nella serie):[2]

Modulazione e demodulazione

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Si ricorda che la modulazione di un segnale , cioè la sua moltiplicazione con una cosinusoide[3], corrisponde nel dominio della frequenza a uno "sdoppiamento" dello spettro:

Grazie alla modulazione è possibile trasferire un segnale in banda base attraverso un canale (ad esempio radio) avente una funzione di trasferimento di tipo passa-banda.

Il segnale modulato :

attraversa il canale e viene ricevuto amplificato (o attenuato) dal filtro passa-banda:

Demodulazione

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Il segnale originario può essere ora ricostruito tramite la demodulazione:

  1. il segnale ricevuto viene modulato di nuovo in base alla stessa frequenza di prima:
ottenendo nel dominio della frequenza tre repliche, di cui quella centrale è proprio il segnale originario solo amplificato (o attenuato):
  1. le componenti ad alta frequenza vengono eliminate tramite un opportuno filtro passa-basso, riottenendo così il segnale originario.

Perché il sistema funzioni devono essere rispettate le seguenti condizioni:

  • la banda passante del canale deve essere più grande della banda del segnale da trasmettere;
  • la banda del filtro in ricezione deve essere più grande della banda del segnale trasmesso;
  • la frequenza centrale deve essere maggiore della banda unilatera del segnale da trasmettere.

Se la funzione di trasferimento del canale non è piatta, cioè è distorcente, nell'intervallo di frequenze del segnale trasmesso il filtro di ricezione può, oltre a fare da filtro passa-banda, anche compensare la distorsione e quindi servire da filtro di equalizzazione.

Multiplazione in frequenza

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Più segnali con occupazione di banda sovrapposta possono essere multiplati, cioè trasmessi in contemporanea, su un singolo canale modulandoli in base a frequenze diverse, in modo che gli spettri non si sovrappongano l'un l'altro.

  1. Per "banda di un sistema" s'intende la banda della sua funzione di trasferimento .
  2. Il canale non dev'essere nullo.
  3. Non si considera la componente immaginaria sinusoidale.