Il segnale è una funzione complessa in funzione del tempo che definisce la "forma" del segnale.
- Operazioni sui segnali
- trasmissione: il trasporto da un punto all'altro dello spazio del segnale;
- memorizzazione: il segnale è fruibile anche a distanza di tempo;
- elaborazione: eliminazione del rumore, combinazione di più segnali...
- Esempi di segnali
- segnale elettrico: costituito da una tensione o una corrente variante nel tempo, spesso generate da trasduttori, ossia dispositivi che permettono di misurare una grandezza scalare (es. temperatura, altezza, velocità) convertendola in un segnale elettrico;
- segnale vocale: si misura fisicamente come variazione della pressione dell'aria in funzione del tempo;
- segnale video: è più complesso perché è necessario discretizzare due delle tre variabili indipendenti x, y e t e definire le informazioni sul colore (o sulla luminosità se in bianco e nero).
Nel caso di un segnale video, discretizzare il tempo t corrisponde a considerare i singoli fotogrammi, e discretizzare le coordinate y significa suddividere il fotogramma in righe orizzontali.
In generale, una sequenza
o
è la rappresentazione matematica discretizzata nel tempo del segnale di funzione
.
Il convertitore A/D serve per digitalizzare un segnale analogico:
- campionamento: il segnale viene campionato in base all'intervallo di campionamento
scelto;
- quantizzazione: il quantizzatore traduce ogni valore scalare campionato in un simbolo che appartiene a un alfabeto di cardinalità finita, cioè lo approssima al valore più vicino tra quelli scelti da un insieme finito.
Il processo casuale è lo strumento matematico che definisce le caratteristiche di una certa classe di segnale (vocali, video, dati...). Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.
Segnali analogici tempo-continui[modifica]
Un segnale analogico tempo-continuo è descritto da una funzione complessa
, che si rappresenta graficamente nelle due parti reale
e immaginaria
.
Un segnale è a supporto limitato se la sua funzione è nulla al di fuori di un intervallo finito
detto supporto.
Un segnale è ad ampiezza limitata se la funzione assume valori compresi in un intervallo finito.
Un segnale fisico si distingue dal segnale matematico per il fatto che è sia ad ampiezza limitata sia a supporto limitato.
I segnali impulsivi divergono ad un'ampiezza illimitata all'interno di un supporto infinitesimo.
Energia e potenza media[modifica]
L'energia di un segnale
vale:

Se l'integrale nella definizione di energia diverge, si prende in considerazione la potenza media di un segnale:

In questo caso
è detta potenza istantanea.
Un segnale fisico ha energia finita. I segnali a energia finita hanno potenza media nulla.
Un segnale è periodico di periodo
e funzione
:

se vale la proprietà seguente:

Un segnale aperiodico si può pensare come come un segnale periodico di periodo
.
- Energia
L'energia
di un segnale periodico è infinita.[1]
- Potenza media
La potenza media
di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo
:

La presenza di uno o più impulsi non fa diventare infinita la potenza.
Spazio dei segnali[modifica]
Lo spazio dei segnali può essere visto come uno spazio vettoriale: un segnale può essere costruito a partire da più segnali elementari così come un vettore può essere costruito a partire da più vettori.
Uno spazio metrico è un insieme di elementi su cui è possibile definire una distanza. La distanza ha le seguenti proprietà:
- non negativa:

- simmetrica:


- disuguaglianza triangolare:

Lo spazio dei segnali è uno spazio metrico.
La distanza è utile nel confronto di due segnali
e
:

Si usa di solito la distanza euclidea:

Prodotto scalare[modifica]
Nello spazio dei numeri complessi il prodotto scalare è così definito:

Nello spazio dei segnali il prodotto scalare è così definito:

La norma nello spazio dei segnali è così definita:

e ricordando che nei numeri complessi vale
:

Secondo la disuguaglianza di Schwarz, il modulo del prodotto scalare tra due vettori al quadrato è sempre minore o uguale del prodotto delle loro energie:

da cui deriva:

L'uguaglianza vale quando
e
sono proporzionali:

L'angolo
tra due segnali
e
è così definito:

Due segnali
e
si dicono ortogonali tra loro se l'angolo
è nullo, cioè se il loro prodotto scalare è nullo:[2]

L'energia della somma di due segnali
e
è data da:

Dimostrazione
![{\displaystyle {\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|}^{2}=\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle ={\|\mathbf {x} \|}^{2}+{\|\mathbf {y} \|}^{2}+\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +{\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }^{*}={\|\mathbf {x} \|}^{2}+{\|\mathbf {y} \|}^{2}+2\Re {\left[\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \right]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1843b58a033a3c812c7bfae60b07623af884e125)
Se i due segnali sono ortogonali:

Basi ortonormali[modifica]
Una coppia di vettori
appartiene a una base ortonormale se e solo se:
e
sono ortogonali tra loro:

e
hanno entrambi norma unitaria:

Queste due condizioni possono essere riassunte da questa relazione:

dove
è la delta di Kronecker:

Data una base ortonormale
, un generico vettore
può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base:

Nello spazio dei segnali esistono infinite basi ortonormali: a partire da una qualsiasi base ortonormale, è possibile ottenere un'altra base ortonormale applicando una rotazione di un certo angolo
a tutti gli elementi della base. Ad esempio, nello spazio euclideo a 2 dimensioni si applica la trasformazione unitaria partendo dalla base canonica:

Fissata una delle possibili basi ortonormali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i segnali ed uno spazio vettoriale euclideo a
dimensioni, associando a ogni segnale
il vettore
a
dimensioni costituito dai suoi coefficienti:

Approssimazione di un segnale[modifica]
Lo spazio dei segnali in realtà ha dimensione infinita, cioè per rappresentare tutti i segnali possibili sarebbe necessaria una base costituita da infiniti versori → si può semplificare approssimando un segnale generico
a un segnale
, formato dalla combinazione lineare dei versori
che sono basi ortonormali di uno spazio ridotto di dimensioni finite
. Si dimostra che la migliore approssimazione, corrispondente alla minima distanza euclidea dal segnale di partenza, si ottiene se i coefficienti della combinazione lineare coincidono con i prodotti scalari tra il segnale generico
stesso e i versori
della base:

Semplificazione formule[3][modifica]
Definendo una base ortonormale di
elementi è possibile semplificare il calcolo del prodotto scalare, della distanza e dell'energia.
- Prodotto scalare

Dimostrazione

Per linearità:

- Energia

- Distanza

|
Definizione |
Segnale |
Vettore
|
Prodotto scalare
|
|
|
|
Energia
|
|
|
|
Norma
|
|
|
|
Distanza
|
|
|
|
Procedura di Gram-Schmidt[modifica]
In questo esempio il segnale

viene approssimato in uno spazio bidimensionale generato dai due versori

e

.
Il segnale
perde un po' di energia nella proiezione su
:

Si ricava la diseguaglianza di Bessel:

Se il segnale
è descritto da una base completa, vale l'uguaglianza di Parseval:

In uno spazio vettoriale a
dimensioni, cioè di cardinalità
, si ha un insieme finito di vettori
. La procedura di Gram-Schmidt permette di trovare il minimo numero
, detto dimensionalità, di versori
, ortonormali tra di loro, necessario per formare una base per questi vettori:

L'algoritmo termina alla
-esima iterazione quando il vettore errore
è nullo, ovvero quando il vettore proiezione
è linearmente dipendente rispetto al vettore
e non si genera un nuovo versore. Se
significa che si è riusciti a introdurre una semplificazione. Cambiando l'ordine dei vettori considerati si possono ottenere versori diversi, ma la dimensionalità
non varia.
- Esempio
Si considerano due vettori
e
nello spazio bidimensionale (
):
1) viene scelto per primo il vettore
:
2) viene scelto per primo il vettore
:
- ↑ Nel caso ultraparticolare di un segnale identicamente nullo, l'energia converge a 0.
- ↑ Si suppone che le energie di
e
non siano identicamente nulle.
- ↑ In questa sezione si ritorna temporaneamente per comodità alla vecchia notazione per i segnali.