Teoria dei segnali2/Segnali e vettori

Il segnale è una funzione complessa in funzione del tempo che definisce la "forma" del segnale.

Operazioni sui segnali

• trasmissione: il trasporto da un punto all'altro dello spazio del segnale;
• memorizzazione: il segnale è fruibile anche a distanza di tempo;
• elaborazione: eliminazione del rumore, combinazione di più segnali...

Esempi di segnali

• segnale elettrico: costituito da una tensione o una corrente variante nel tempo, spesso generate da trasduttori, ossia dispositivi che permettono di misurare una grandezza scalare (es. temperatura, altezza, velocità) convertendola in un segnale elettrico;
• segnale vocale: si misura fisicamente come variazione della pressione dell'aria in funzione del tempo;
• segnale video: è più complesso perché è necessario discretizzare due delle tre variabili indipendenti x, y e t e definire le informazioni sul colore (o sulla luminosità se in bianco e nero).

Nel caso di un segnale video, discretizzare il tempo t corrisponde a considerare i singoli fotogrammi, e discretizzare le coordinate y significa suddividere il fotogramma in righe orizzontali.

In generale, una sequenza $f_{n}$ o $f\left(n\right)$ è la rappresentazione matematica discretizzata nel tempo del segnale di funzione $f$.

Il convertitore A/D serve per digitalizzare un segnale analogico:

• campionamento: il segnale viene campionato in base all'intervallo di campionamento $\Delta t$ scelto;
• quantizzazione: il quantizzatore traduce ogni valore scalare campionato in un simbolo che appartiene a un alfabeto di cardinalità finita, cioè lo approssima al valore più vicino tra quelli scelti da un insieme finito.

Il processo casuale è lo strumento matematico che definisce le caratteristiche di una certa classe di segnale (vocali, video, dati...). Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

Segnali analogici tempo-continui

Un segnale analogico tempo-continuo è descritto da una funzione complessa $x\left(t\right)$, che si rappresenta graficamente nelle due parti reale $x_{R}\left(t\right)$ e immaginaria $x_{I}\left(t\right)$.

Un segnale è a supporto limitato se la sua funzione è nulla al di fuori di un intervallo finito $\left(a,\,b\right)$ detto supporto.

Un segnale è ad ampiezza limitata se la funzione assume valori compresi in un intervallo finito.

Un segnale fisico si distingue dal segnale matematico per il fatto che è sia ad ampiezza limitata sia a supporto limitato.

I segnali impulsivi divergono ad un'ampiezza illimitata all'interno di un supporto infinitesimo.

Energia e potenza media

L'energia di un segnale $x\left(t\right)$ vale:

$E\left(x\right)\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }{\left|x\right|}^{2}dt$

Se l'integrale nella definizione di energia diverge, si prende in considerazione la potenza media di un segnale:

$P\left(x\right)\triangleq \lim _{a\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2a}}\int _{-a}^{a}{\left|x\right|}^{2}dt$

In questo caso ${\left|x\right|}^{2}=xx^{*}$ è detta potenza istantanea.

Un segnale fisico ha energia finita. I segnali a energia finita hanno potenza media nulla.

Periodicità

Un segnale è periodico di periodo $T$ e funzione $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)$

se vale la proprietà seguente:

$\exists T:\,x\left(t\right)=x\left(t+T\right)\;\forall t$

Un segnale aperiodico si può pensare come come un segnale periodico di periodo $T\rightarrow +\infty$.

Energia

L'energia $E\left(x\left(t\right)\right)$ di un segnale periodico è infinita.

Dimostrazione

$E\left(x\left(t\right)\right)\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }{\left|\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)\right|}^{2}dt=\int _{-\infty }^{+\infty }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)\sum _{m=-\infty }^{+\infty }x_{T}^{*}\left(t-mT\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\sum _{m=-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)x_{T}^{*}\left(t-mT\right)=\sum _{n=m=-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)x_{T}^{*}\left(t-mT\right)dt+\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\sum _{m\neq n}\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)x_{T}^{*}\left(t-mT\right)dt=$

Siccome il prodotto nel secondo integrale è sempre zero perché le due funzioni hanno supporto disgiunto:

$=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)x_{T}^{*}\left(t-nT\right)dt+0=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }{\left|x_{T}\left(t-nT\right)\right|}^{2}dt=$

Poiché $x\left(t\right)$ è un segnale periodico:

$=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }E\left(x_{T}\left(t\right)\right)\rightarrow +\infty$

Potenza media

La potenza media $P\left(x\left(t\right)\right)$ di un segnale periodico dipende dall'energia del segnale all'interno di un singolo periodo $E\left(x_{T}\left(t\right)\right)$:

$P\left(x\left(t\right)\right)={\frac {1}{T}}E\left(x_{T}\left(t\right)\right)$

Dimostrazione

$P\left(x\left(t\right)\right)=\lim _{m\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2mT}}\int _{-mT}^{mT}{\left|\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)\right|}^{2}dt=\lim _{m\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2mT}}\sum _{n=-m}^{m-1}\int _{-mT}^{mT}{\left|x_{T}\left(t-nT\right)\right|}^{2}dt=\lim _{m\rightarrow +\infty }{\frac {1}{2mT}}\sum _{n=-m}^{m-1}E\left(x_{T}\left(t\right)\right)=$

Poiché se per esempio $m=1$ si ha $\sum _{n=-1}^{0}E\left(x_{T}\left(t\right)\right)=2E\left(x_{T}\left(t\right)\right)$:

$=\lim _{m\rightarrow +\infty }{\frac {2mE\left(x_{T}\left(t\right)\right)}{2mT}}={\frac {1}{T}}E\left(x_{T}\left(t\right)\right)$

La presenza di uno o più impulsi non fa diventare infinita la potenza.

Spazio dei segnali

Lo spazio dei segnali può essere visto come uno spazio vettoriale: un segnale può essere costruito a partire da più segnali elementari così come un vettore può essere costruito a partire da più vettori.

Distanza

Uno spazio metrico è un insieme di elementi su cui è possibile definire una distanza. La distanza ha le seguenti proprietà:

• non negativa: $d\left(x,y\right)\geq 0\;\forall x,\,y$
• simmetrica: $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$
• $d\left(x,y\right)=0\Rightarrow x=y$
• disuguaglianza triangolare: $d\left(x,z\right)\leq d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)$

Lo spazio dei segnali è uno spazio metrico.

La distanza è utile nel confronto di due segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$:

$d\left(x,y\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }\left|x-y\right|dt$

Si usa di solito la distanza euclidea:

$d\left(x,y\right)=\left\|x-y\right\|_{2}={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }{\left|x-y\right|}^{2}dt}}$

Prodotto scalare

Nello spazio dei numeri complessi il prodotto scalare è così definito:

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\rangle \triangleq \sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}^{*}\in \mathbb {C} ,\quad \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathbb {C} }^{n}$

Nello spazio dei segnali il prodotto scalare è così definito:

$\langle x,y\rangle \triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }xy^{*}dt$

Norma

La norma nello spazio dei segnali è così definita:

$\|x\|\triangleq {\sqrt {\langle x,x\rangle }}={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }xx^{*}dt}}$

e ricordando che nei numeri complessi vale ${\left|z\right|}^{2}=zz^{*}$:

$\|x\|={\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }{\left|x\right|}^{2}dt}}={\sqrt {E\left(x\right)}}\Rightarrow E\left(x\right)={\|x\|}^{2}$

Ortogonalità

Secondo la disuguaglianza di Schwarz, il modulo del prodotto scalare tra due vettori al quadrato è sempre minore o uguale del prodotto delle loro energie:

${\left|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \right|}^{2}\leq {\|\mathbf {x} \|}^{2}{\|\mathbf {y} \|}^{2}$

da cui deriva:

$0\leq {\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\leq 1$

L'uguaglianza vale quando $\mathbf {x}$ e $\mathbf {y}$ sono proporzionali:

${\left|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \right|}^{2}={\|\mathbf {x} \|}^{2}{\|\mathbf {y} \|}^{2}\Leftrightarrow \mathbf {x} =\alpha \mathbf {y}$

L'angolo $\theta$ tra due segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$ è così definito:

$\cos {\theta }\triangleq {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\|y\|}}$

Due segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$ si dicono ortogonali tra loro se l'angolo $\theta$ è nullo, cioè se il loro prodotto scalare è nullo:

$\theta =0\Rightarrow \langle x,y\rangle =0$

L'energia della somma di due segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$ è data da:

$E\left(x+y\right)=E\left(x\right)+E\left(y\right)+2\Re {\langle x,y\rangle }$

Dimostrazione

${\|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|}^{2}=\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle ={\|\mathbf {x} \|}^{2}+{\|\mathbf {y} \|}^{2}+\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +{\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }^{*}={\|\mathbf {x} \|}^{2}+{\|\mathbf {y} \|}^{2}+2\Re {\left[\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle \right]}$

Se i due segnali sono ortogonali:

$\langle x,y\rangle =0\Rightarrow E\left(x+y\right)=E\left(x\right)+E\left(y\right)$

Basi ortonormali

Una coppia di vettori $\left({\mathbf {w} }_{i},{\mathbf {w} }_{j}\right)$ appartiene a una base ortonormale se e solo se:

• ${\mathbf {w} }_{i}$ e ${\mathbf {w} }_{j}$ sono ortogonali tra loro:

  $\langle {\mathbf {w} }_{i},{\mathbf {w} }_{j}\rangle =0\quad \forall i\neq j$

• ${\mathbf {w} }_{i}$ e ${\mathbf {w} }_{j}$ hanno entrambi norma unitaria:

  $\|{\mathbf {w} }_{i}\|=1\quad \forall i$

Queste due condizioni possono essere riassunte da questa relazione:

$\langle {\mathbf {w} }_{i},{\mathbf {w} }_{j}\rangle =\delta _{ij}$

dove $\delta _{ij}$ è la delta di Kronecker:

$\delta _{ij}={\begin{cases}1\quad {\text{se}}\;i=j\\0\quad {\text{altrimenti}}\end{cases}}$

Data una base ortonormale $\left({\mathbf {w} }_{1},\ldots ,{\mathbf {w} }_{n}\right)$, un generico vettore $\mathbf {x}$ può essere rappresentato come combinazione lineare degli elementi della base:

$\mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)=\sum _{i=1}^{n}\langle \mathbf {x} ,{\mathbf {w} }_{i}\rangle {\mathbf {w} }_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\mathbf {w} }_{i}$

Nello spazio dei segnali esistono infinite basi ortonormali: a partire da una qualsiasi base ortonormale, è possibile ottenere un'altra base ortonormale applicando una rotazione di un certo angolo $\theta$ a tutti gli elementi della base. Ad esempio, nello spazio euclideo a 2 dimensioni si applica la trasformazione unitaria partendo dalla base canonica:

$\left\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\right\}\times {\begin{pmatrix}\cos {\theta }&\sin {\theta }\\-\sin {\theta }&\cos {\theta }\end{pmatrix}}=\left\{{\begin{pmatrix}\cos {\theta }\\\sin {\theta }\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-\sin {\theta }\\\cos {\theta }\end{pmatrix}}\right\}$

Fissata una delle possibili basi ortonormali, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i segnali ed uno spazio vettoriale euclideo a $n$ dimensioni, associando a ogni segnale $x\left(t\right)$ il vettore $\mathbf {x}$ a $n$ dimensioni costituito dai suoi coefficienti:

$x\left(t\right)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}\left(t\right)\longleftrightarrow \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)$

Approssimazione di un segnale

Lo spazio dei segnali in realtà ha dimensione infinita, cioè per rappresentare tutti i segnali possibili sarebbe necessaria una base costituita da infiniti versori → si può semplificare approssimando un segnale generico $\mathbf {x}$ a un segnale $\mathbf {\hat {x}}$, formato dalla combinazione lineare dei versori ${\mathbf {w} }_{i}$ che sono basi ortonormali di uno spazio ridotto di dimensioni finite $n$. Si dimostra che la migliore approssimazione, corrispondente alla minima distanza euclidea dal segnale di partenza, si ottiene se i coefficienti della combinazione lineare coincidono con i prodotti scalari tra il segnale generico $\mathbf {x}$ stesso e i versori ${\mathbf {w} }_{i}$ della base:

$\mathbf {\hat {x}} =\sum _{i=1}^{n}\langle \mathbf {x} ,{\mathbf {w} }_{i}\rangle {\mathbf {w} }_{i}$

Semplificazione formule

Definendo una base ortonormale di $n$ elementi è possibile semplificare il calcolo del prodotto scalare, della distanza e dell'energia.

Prodotto scalare

$\langle x,y\rangle \triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }xy^{*}dt=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}^{*}$

Dimostrazione

$\langle x\left(t\right),y\left(t\right)\rangle =\langle \sum _{i=1}^{n}x_{i}w_{i}\left(t\right),\sum _{j=1}^{n}y_{j}w_{j}\left(t\right)\rangle =\int \sum _{i=1}^{n}x_{i}^{*}w_{i}^{*}\left(t\right)\sum _{j=1}^{n}y_{j}^{*}w_{j}^{*}\left(t\right)dt=$

Per linearità:

$=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}^{*}\int w_{i}\left(t\right)w_{j}^{*}\left(t\right)dt=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}y_{j}^{*}\delta _{ij}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}^{*}$

Energia

$E\left(x\right)\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }{\left|x\right|}^{2}dt=\sum _{i=1}^{n}{\left|x_{i}\right|}^{2}$

Dimostrazione

$E\left(x\right)=E\left(\sum _{i=1}^{n}\langle x,w_{i}\rangle w_{i}\right)=$

Ricordando la proprietà dell'energia della somma di segnali ortogonali:

$=\sum _{i=1}^{n}E\left(\langle x,w_{i}\rangle w_{i}\right)=$

Portando fuori una costante dall'integrale della definizione di energia:

$=\sum _{i=1}^{n}{\left|\langle x,w_{i}\rangle \right|}^{2}E\left(w_{i}\right)=$

Ricordando che i segnali $w_{i}\left(t\right)$ hanno norma unitaria:

$=\sum _{i=1}^{n}{\left|\langle x,w_{i}\rangle \right|}^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\left|x_{i}\right|}^{2}$

Distanza

$d\left(x,y\right)\triangleq {\sqrt {\int _{-\infty }^{+\infty }{\left|x-y\right|}^{2}dt}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left|x_{i}-y_{i}\right|}^{2}}}$

	Definizione	Segnale	Vettore
Prodotto scalare	$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle$	$\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)y^{*}\left(t\right)dt$	$\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}^{*}$
Energia	$E\left(\mathbf {x} \right)\triangleq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$	$\int {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt$	$\sum _{i=1}^{n}{\left|x_{i}\right|}^{2}$
Norma	$\left\|\mathbf {x} \right\|\triangleq {\sqrt {E\left(\mathbf {x} \right)}}={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}$	${\sqrt {\int {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt}}$	${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left|x_{i}\right|}^{2}}}$
Distanza	$d\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)\triangleq \left\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right\|$	${\sqrt {\int {\left|x\left(t\right)-y\left(t\right)\right|}^{2}dt}}$	${\sqrt {\sum _{i=1}^{n}{\left|x_{i}-y_{i}\right|}^{2}}}$

Procedura di Gram-Schmidt

In questo esempio il segnale $\mathbf {x}$ viene approssimato in uno spazio bidimensionale generato dai due versori ${\mathbf {w} }_{1}$ e ${\mathbf {w} }_{2}$.

Il segnale $\mathbf {x}$ perde un po' di energia nella proiezione su $\mathbf {\hat {x}}$:

$E\left(\mathbf {e} \right)=E\left(\mathbf {x} \right)-\sum _{i=1}^{n}{\left|\langle \mathbf {x} ,{\mathbf {w} }_{i}\rangle \right|}^{2}\geq 0\,,\quad \mathbf {e} =\mathbf {x} -\mathbf {\hat {x}}$

Dimostrazione

$E\left(\mathbf {x} \right)=E\left(\mathbf {e} +\mathbf {\hat {x}} \right)=$

Poiché il segnale errore $\mathbf {e}$, che è il segnale differenza, è ortogonale al segnale approssimante $\mathbf {\hat {x}}$:

$=E\left(\mathbf {e} \right)+E\left(\mathbf {\hat {x}} \right)=E\left(\mathbf {e} \right)+\sum _{i=1}^{n}{\left|\langle \mathbf {x} ,{\mathbf {w} }_{i}\rangle \right|}^{2}$

Si ricava la diseguaglianza di Bessel:

$E\left(\mathbf {x} \right)\geq \sum _{i=1}^{n}{\left|\langle \mathbf {x} ,{\mathbf {w} }_{i}\rangle \right|}^{2}$

Se il segnale $\mathbf {x}$ è descritto da una base completa, vale l'uguaglianza di Parseval:

$E\left(\mathbf {x} \right)=\sum _{i=1}^{n}{\left|\langle \mathbf {x} ,{\mathbf {w} }_{i}\rangle \right|}^{2}$

In uno spazio vettoriale a $M$ dimensioni, cioè di cardinalità $M$, si ha un insieme finito di vettori $\left\{{\mathbf {x} }_{1},{\mathbf {x} }_{2},\ldots ,{\mathbf {x} }_{M}\right\}$. La procedura di Gram-Schmidt permette di trovare il minimo numero $N\leq M$, detto dimensionalità, di versori $\left\{{\mathbf {w} }_{1},{\mathbf {w} }_{2},\ldots ,{\mathbf {w} }_{N}\right\}$, ortonormali tra di loro, necessario per formare una base per questi vettori:

${\begin{array}{l}{\mathbf {w} }_{1}\cdot \|{\mathbf {\hat {w}} }_{1}\|={\mathbf {\hat {w}} }_{1}={\mathbf {x} }_{1}\\{\mathbf {w} }_{2}\cdot \|{\mathbf {\hat {w}} }_{2}\|={\mathbf {\hat {w}} }_{2}={\mathbf {x} }_{2}-{\mathbf {\hat {x}} }_{2}={\mathbf {x} }_{2}-\langle {\mathbf {x} }_{2},{\mathbf {w} }_{1}\rangle {\mathbf {w} }_{1}\\\vdots \\{\mathbf {w} }_{i}\cdot \|{\mathbf {\hat {w}} }_{i}\|={\mathbf {\hat {w}} }_{i}={\mathbf {x} }_{i}-{\mathbf {\hat {x}} }_{i}={\mathbf {x} }_{i}-\sum _{k=1}^{i-1}\langle {\mathbf {x} }_{i},{\mathbf {w} }_{k}\rangle {\mathbf {w} }_{k}\\\vdots \\{\mathbf {w} }_{N}\cdot \|{\mathbf {\hat {w}} }_{N}\|={\mathbf {\hat {w}} }_{2}={\mathbf {x} }_{N}-{\mathbf {\hat {x}} }_{N}={\mathbf {x} }_{N}-\sum _{k=1}^{N-1}\langle {\mathbf {x} }_{N},{\mathbf {w} }_{k}\rangle {\mathbf {w} }_{k}\end{array}}$

L'algoritmo termina alla $N$-esima iterazione quando il vettore errore $\mathbf {e}$ è nullo, ovvero quando il vettore proiezione $\mathbf {\hat {x}} _{N}$ è linearmente dipendente rispetto al vettore ${\mathbf {x} }_{N}$ e non si genera un nuovo versore. Se $N<M$ significa che si è riusciti a introdurre una semplificazione. Cambiando l'ordine dei vettori considerati si possono ottenere versori diversi, ma la dimensionalità $N$ non varia.

Esempio

Si considerano due vettori ${\mathbf {x} }_{1}$ e ${\mathbf {x} }_{2}$ nello spazio bidimensionale ($M=2$):

1) viene scelto per primo il vettore ${\mathbf {x} }_{1}$:

2) viene scelto per primo il vettore ${\mathbf {x} }_{2}$: