L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:

La convoluzione tra due segnali
, a supporto finito
e
, a supporto finito
:
- ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze:
;
- riduce le discontinuità, e in particolare è di classe
se le due funzioni sono di classe
.
Convoluzione di porte[modifica]
La convoluzione
tra la porta
e la porta
ha supporto
ed è una funzione continua (classe
):
Se
la convoluzione
è la funzione
:
Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.
Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate
e
non sono nulle:
- Commutativa

- Associativa
![{\displaystyle x\left(t\right)*\left[y\left(t\right)*w\left(t\right)\right]=\left[x\left(t\right)*y\left(t\right)\right]*w\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7435162bcc580a45fb33d68e8b1e6d23d726268d)
- Distributiva
![{\displaystyle x\left(t\right)*\left[y\left(t\right)+w\left(t\right)\right]=x\left(t\right)*y\left(t\right)+x\left(t\right)*w\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a183c8c63a5ac453fe6c1ef30766a59d9ce813a3)
Proprietà della delta di Dirac[modifica]
La moltiplicazione di una funzione
per una funzione delta
, traslata di
, restituisce il campione di
in
:

e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo
una qualsiasi funzione
che assuma lo stesso valore in
, in particolare la funzione costante
.
La convoluzione di una funzione
con una funzione delta
, traslata di
, restituisce il segnale traslato:

Dimostrazione

Proprietà della trasformata di Fourier[modifica]
La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari:[1]

Anticipo o ritardo[modifica]
La trasformata di Fourier del segnale
ritardato o anticipato di una fase
vale:

Corrisponde graficamente a una rotazione della fase (
), mentre il modulo
non varia.
Modulazione e traslazione[modifica]
La modulazione del segnale
, di una frequenza
, corrisponde alla traslazione della sua trasformata di Fourier:

e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cf2767c7912c4399e42db03c266b9ffbc1d5f9)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\sin {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2j}}\left[X\left(f-f_{0}\right)-X\left(f+f_{0}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9879e8e5c2825bbc1cf363d7afc4605771d65699)
Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:

Relazioni di parità[modifica]
Se il segnale
è reale, allora la sua trasformata di Fourier
ha le seguenti relazioni di parità:
- la parte reale
è pari:

- la parte immaginaria
è dispari:

- il modulo
è pari:

- la fase
è dispari:

Se il segnale
è reale vale inoltre la simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):

Convoluzione e prodotto[modifica]
La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:

Derivazione ed integrazione[modifica]
- Derivazione


- Integrazione


Altre proprietà[modifica]
- Uguaglianza di Parseval

- Invarianza prodotto scalare

- Diseguaglianza di Schwarz

Relazione tempo-frequenza[modifica]
Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.
Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:[2]
- se la funzione
ha supporto finito, la sua trasformata
non ha supporto finito;
- se la funzione
ha supporto finito, la sua antitrasformata
non ha supporto finito.
Si definisce estensione temporale
:

Si definisce estensione di frequenza
:

È possibile dimostrare che vale:

L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:
- tempo:

- frequenza:

Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.
Linearità
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|
Anticipo o ritardo
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Modulazione e traslazione
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Scalamento
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Relazioni di parità
|
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Convoluzione e prodotto
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Dualità
|
|
Esempi di trasformate[modifica]
- Funzione porta

- Segnale numerico
Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore
viene moltiplicato per una opportuna costante
, e il segnale digitale
sia ottenuto dalla seguente combinazione lineare:

Per la proprietà del ritardo:

Per la proprietà di linearità:

Siccome
è a coefficiente della sommatoria, un segnale numerico
non può avere un'occupazione spettrale maggiore di quella del segnale sagomatore
→ l'ampiezza dello spettro
del segnale è controllabile tramite un opportuno segnale sagomatore.
Infine per la proprietà di modulazione:
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\frac {1}{2}}\left[Z\left(f-f_{0}\right)+Z\left(f-f_{0}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ef62809bd7561c2a8ae53dbe770d4d934d05db)
- ↑ Questa proprietà discende direttamente dalla linearità dell'operatore integrale.
- ↑ Si noti che se la funzione o la sua trasformata hanno supporto infinito non si può dire niente sul supporto della corrispondente funzione.