L'operatore prodotto di convoluzione è definito in questo modo:
z
(
t
)
=
x
(
t
)
∗
y
(
t
)
≜
∫
−
∞
+
∞
x
(
τ
)
y
(
t
−
τ
)
d
τ
{\displaystyle z\left(t\right)=x\left(t\right)*y\left(t\right)\triangleq \int _{-\infty }^{+\infty }x\left(\tau \right)y\left(t-\tau \right)d\tau }
La convoluzione tra due segnali
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
[
−
a
,
+
a
]
{\displaystyle \left[-a,+a\right]}
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
[
−
b
,
+
b
]
{\displaystyle \left[-b,+b\right]}
ha un supporto di ampiezza pari alla somma delle ampiezze:
[
−
(
b
+
a
)
,
+
(
b
+
a
)
]
{\displaystyle \left[-\left(b+a\right),+\left(b+a\right)\right]}
riduce le discontinuità, e in particolare è di classe
C
n
+
1
{\displaystyle C^{n+1}}
C
n
{\displaystyle C^{n}}
La convoluzione
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
x
(
τ
)
=
Π
2
a
(
τ
)
{\displaystyle x\left(\tau \right)={\Pi }_{2a}\left(\tau \right)}
y
(
τ
)
=
Π
2
b
(
τ
)
{\displaystyle y\left(\tau \right)={\Pi }_{2b}\left(\tau \right)}
2
(
b
+
a
)
{\displaystyle 2\left(b+a\right)}
C
0
{\displaystyle C^{0}}
Se
a
=
b
{\displaystyle a=b}
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
2
a
tri
(
t
2
a
)
{\displaystyle 2a\operatorname {tri} \left({\tfrac {t}{2a}}\right)}
Effettuando infinite convoluzioni si ottiene una gaussiana.
Al contrario, nel dominio delle frequenze il supporto è ristretto all'intervallo di frequenze in cui entrambe le trasformate
X
(
f
)
{\displaystyle X\left(f\right)}
Y
(
f
)
{\displaystyle Y\left(f\right)}
Commutativa
x
(
t
)
∗
y
(
t
)
=
y
(
t
)
∗
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)*y\left(t\right)=y\left(t\right)*x\left(t\right)}
Associativa
x
(
t
)
∗
[
y
(
t
)
∗
w
(
t
)
]
=
[
x
(
t
)
∗
y
(
t
)
]
∗
w
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)*\left[y\left(t\right)*w\left(t\right)\right]=\left[x\left(t\right)*y\left(t\right)\right]*w\left(t\right)}
Distributiva
x
(
t
)
∗
[
y
(
t
)
+
w
(
t
)
]
=
x
(
t
)
∗
y
(
t
)
+
x
(
t
)
∗
w
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)*\left[y\left(t\right)+w\left(t\right)\right]=x\left(t\right)*y\left(t\right)+x\left(t\right)*w\left(t\right)}
La moltiplicazione di una funzione
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
δ
(
t
−
τ
)
{\displaystyle \delta \left(t-\tau \right)}
τ
{\displaystyle \tau }
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
t
=
τ
{\displaystyle t=\tau }
x
(
t
)
δ
(
t
−
τ
)
=
x
(
τ
)
δ
(
t
−
τ
)
{\displaystyle x\left(t\right)\delta \left(t-\tau \right)=x\left(\tau \right)\delta \left(t-\tau \right)}
e pertanto si può introdurre una semplificazione sostituendo
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
y
(
t
)
{\displaystyle y\left(t\right)}
t
=
τ
{\displaystyle t=\tau }
y
(
t
)
=
x
(
τ
)
{\displaystyle y\left(t\right)=x\left(\tau \right)}
La convoluzione di una funzione
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
δ
(
t
−
τ
)
{\displaystyle \delta \left(t-\tau \right)}
τ
{\displaystyle \tau }
x
(
t
)
∗
δ
(
t
−
τ
)
=
x
(
t
−
τ
)
{\displaystyle x\left(t\right)*\delta \left(t-\tau \right)=x\left(t-\tau \right)}
Dimostrazione
x
(
t
)
∗
δ
(
t
−
τ
)
=
∫
−
∞
+
∞
δ
(
t
′
−
τ
)
x
(
t
−
t
′
)
d
t
′
=
x
(
t
−
τ
)
{\displaystyle x\left(t\right)*\delta \left(t-\tau \right)=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta \left(t'-\tau \right)x\left(t-t'\right)dt'=x\left(t-\tau \right)}
La trasformata di Fourier e la sua inversa sono operatori lineari :[ 1]
F
{
a
1
x
1
(
t
)
+
a
2
x
2
(
t
)
}
=
a
1
F
{
x
1
(
t
)
}
+
a
2
F
{
x
2
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{a_{1}x_{1}\left(t\right)+a_{2}x_{2}\left(t\right)\right\}=a_{1}{\mathcal {F}}\left\{x_{1}\left(t\right)\right\}+a_{2}{\mathcal {F}}\left\{x_{2}\left(t\right)\right\}}
La trasformata di Fourier del segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
ritardato o anticipato di una fase
θ
{\displaystyle \theta }
F
{
x
(
t
−
θ
)
}
=
F
{
x
(
t
)
}
e
−
j
2
π
θ
f
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t-\theta \right)\right\}={\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}e^{-j2\pi \theta f}}
Corrisponde graficamente a una rotazione della fase (
arg
X
(
f
)
−
2
π
θ
f
{\displaystyle \arg X\left(f\right)-2\pi \theta f}
|
X
(
f
)
|
{\displaystyle \left|X\left(f\right)\right|}
La modulazione del segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
f
0
{\displaystyle f_{0}}
traslazione della sua trasformata di Fourier:
F
{
x
(
t
)
e
j
2
π
f
0
t
}
=
X
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}=X\left(f-f_{0}\right)}
e si ottiene dalla composizione di due trasformate del segnale una simmetrica all'altra rispetto all'asse verticale:
F
{
x
(
t
)
cos
(
2
π
f
0
t
)
}
=
1
2
[
X
(
f
−
f
0
)
+
X
(
f
+
f
0
)
]
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]}
F
{
x
(
t
)
sin
(
2
π
f
0
t
)
}
=
1
2
j
[
X
(
f
−
f
0
)
−
X
(
f
+
f
0
)
]
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\sin {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2j}}\left[X\left(f-f_{0}\right)-X\left(f+f_{0}\right)\right]}
Lo scalamento corrisponde a una dilatazione o un restrigimento sull'asse dei tempi, e a rispettivamente un restringimento o una dilatazione sull'asse delle frequenze:
F
{
x
(
K
t
)
}
=
1
|
K
|
X
(
f
K
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(Kt\right)\right\}={\frac {1}{\left|K\right|}}X\left({\frac {f}{K}}\right)}
Se il segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
X
(
f
)
{\displaystyle X\left(f\right)}
la parte reale
ℜ
{
X
(
f
)
}
{\displaystyle \Re {\left\{X\left(f\right)\right\}}}
ℜ
{
X
(
−
f
)
}
=
ℜ
{
X
(
f
)
}
{\displaystyle \Re {\left\{X\left(-f\right)\right\}}=\Re {\left\{X\left(f\right)\right\}}}
la parte immaginaria
ℑ
{
X
(
f
)
}
{\displaystyle \Im {\left\{X\left(f\right)\right\}}}
ℑ
{
X
(
−
f
)
}
=
−
ℑ
{
X
(
f
)
}
{\displaystyle \Im {\left\{X\left(-f\right)\right\}}=-\Im {\left\{X\left(f\right)\right\}}}
il modulo
|
X
(
f
)
|
{\displaystyle \left|X\left(f\right)\right|}
|
X
(
f
)
|
2
=
ℜ
2
{
X
(
f
)
}
+
ℑ
2
{
X
(
f
)
}
=
pari
×
pari
+
dispari
×
dispari
=
pari
{\displaystyle {\left|X\left(f\right)\right|}^{2}={\Re }^{2}{\left\{X\left(f\right)\right\}}+{\Im }^{2}{\left\{X\left(f\right)\right\}}=\,{\text{pari}}\,\times \,{\text{pari}}\,+\,{\text{dispari}}\,\times \,{\text{dispari}}\,=\,{\text{pari}}}
la fase
arg
X
(
f
)
{\displaystyle \arg {X\left(f\right)}}
arg
X
(
f
)
=
a
r
c
t
g
ℑ
{
X
(
f
)
}
ℜ
{
X
(
f
)
}
=
a
r
c
t
g
(
dispari
)
=
dispari
{\displaystyle \arg {X\left(f\right)}=\mathrm {arctg} {\frac {\Im {\left\{X\left(f\right)\right\}}}{\Re {\left\{X\left(f\right)\right\}}}}=\mathrm {arctg} \left({\text{dispari}}\right)=\,{\text{dispari}}}
Se il segnale
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
simmetria hermitiana (o simmetria coniugata):
X
∗
(
−
f
)
=
X
(
f
)
{\displaystyle X^{*}\left(-f\right)=X\left(f\right)}
La trasformata di Fourier della convoluzione è pari al prodotto delle singole trasformate:
Z
(
f
)
=
F
{
x
(
t
)
∗
y
(
t
)
}
=
X
(
f
)
Y
(
f
)
{\displaystyle Z\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)*y\left(t\right)\right\}=X\left(f\right)Y\left(f\right)}
Derivazione
F
{
∂
∂
t
x
(
t
)
}
=
j
2
π
f
X
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\partial \over \partial t}x\left(t\right)\right\}=j2\pi fX\left(f\right)}
F
{
∂
n
∂
t
n
x
(
t
)
}
=
(
j
2
π
f
)
n
X
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{{\partial }^{n} \over \partial t^{n}}x\left(t\right)\right\}={\left(j2\pi f\right)}^{n}X\left(f\right)}
Integrazione
F
{
∫
−
∞
t
x
(
r
)
d
r
}
=
1
2
X
(
0
)
δ
(
f
)
+
X
(
f
)
j
2
π
f
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\int _{-\infty }^{t}x\left(r\right)dr\right\}={\frac {1}{2}}X\left(0\right)\delta \left(f\right)+{\frac {X\left(f\right)}{j2\pi f}}}
F
{
X
(
t
)
}
=
x
(
−
f
)
⇒
F
{
x
(
t
)
}
=
F
−
1
{
x
(
−
f
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{X\left(t\right)\right\}=x\left(-f\right)\Rightarrow {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{x\left(-f\right)\right\}}
Uguaglianza di Parseval
E
(
x
)
=
∫
|
x
(
t
)
|
2
d
t
=
∫
|
X
(
f
)
|
2
d
f
{\displaystyle E\left(x\right)=\int {\left|x\left(t\right)\right|}^{2}dt=\int {\left|X\left(f\right)\right|}^{2}df}
Invarianza prodotto scalare
⟨
x
(
t
)
,
y
(
t
)
⟩
=
⟨
X
(
f
)
,
Y
(
f
)
⟩
{\displaystyle \langle x\left(t\right),y\left(t\right)\rangle =\langle X\left(f\right),Y\left(f\right)\rangle }
Diseguaglianza di Schwarz
|
⟨
X
(
f
)
,
Y
(
f
)
⟩
|
≤
‖
X
(
f
)
‖
‖
Y
(
f
)
‖
{\displaystyle \left|\langle X\left(f\right),Y\left(f\right)\rangle \right|\leq \left\|X\left(f\right)\right\|\left\|Y\left(f\right)\right\|}
Secondo la proprietà dello scalamento espandere l'asse dei tempi corrisponde a comprimere l'asse delle frequenze.
Per valutare quantitativamente la compattezza non si può tuttavia usare il supporto, perché si dimostra che:[ 2]
se la funzione
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
X
(
f
)
{\displaystyle X\left(f\right)}
se la funzione
X
(
f
)
{\displaystyle X\left(f\right)}
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
Si definisce estensione temporale
d
{\displaystyle d}
d
2
=
∫
t
2
|
x
(
t
)
|
2
E
(
x
)
d
t
{\displaystyle d^{2}=\int t^{2}{\frac {{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}dt}
Si definisce estensione di frequenza
D
{\displaystyle D}
D
2
=
4
π
2
∫
f
2
|
X
(
f
)
|
2
E
(
x
)
d
f
{\displaystyle D^{2}=4{\pi }^{2}\int f^{2}{\frac {{\left|X\left(f\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}df}
È possibile dimostrare che vale:
d
⋅
D
≥
1
2
{\displaystyle d\cdot D\geq {\frac {1}{2}}}
L'estensione è il valore quadratico medio di una variabile casuale con distribuzione pari a:
tempo:
|
x
(
t
)
|
2
E
(
x
)
{\displaystyle {\frac {{\left|x\left(t\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}}
frequenza:
|
X
(
f
)
|
2
E
(
x
)
{\displaystyle {\frac {{\left|X\left(f\right)\right|}^{2}}{E\left(x\right)}}}
Supponendo nullo il valor medio, il valore quadratico medio coincide con la varianza.
Linearità
F
{
a
1
x
1
(
t
)
+
a
2
x
2
(
t
)
}
=
a
1
F
{
x
1
(
t
)
}
+
a
2
F
{
x
2
(
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{a_{1}x_{1}\left(t\right)+a_{2}x_{2}\left(t\right)\right\}=a_{1}{\mathcal {F}}\left\{x_{1}\left(t\right)\right\}+a_{2}{\mathcal {F}}\left\{x_{2}\left(t\right)\right\}}
Anticipo o ritardo
F
{
x
(
t
−
θ
)
}
=
F
{
x
(
t
)
}
e
−
j
2
π
θ
f
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t-\theta \right)\right\}={\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}e^{-j2\pi \theta f}}
Modulazione e traslazione
F
{
x
(
t
)
e
j
2
π
f
0
t
}
=
X
(
f
−
f
0
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)e^{j2\pi f_{0}t}\right\}=X\left(f-f_{0}\right)}
Scalamento
F
{
x
(
K
t
)
}
=
1
|
K
|
X
(
f
K
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(Kt\right)\right\}={\frac {1}{\left|K\right|}}X\left({\frac {f}{K}}\right)}
Relazioni di parità
x
(
t
)
∈
R
⇔
{
ℜ
{
X
(
f
)
}
e
|
X
(
f
)
|
sono pari
ℑ
{
X
(
f
)
}
e
arg
X
(
f
)
sono dispari
{\displaystyle x\left(t\right)\in \mathbb {R} \Leftrightarrow {\begin{cases}\Re {\left\{X\left(f\right)\right\}}\,{\text{e}}\,\left|X\left(f\right)\right|\,{\text{sono pari}}\\\Im {\left\{X\left(f\right)\right\}}\,{\text{e}}\,\arg {X\left(f\right)}\,{\text{sono dispari}}\end{cases}}}
Convoluzione e prodotto
F
{
x
(
t
)
∗
y
(
t
)
}
=
X
(
f
)
Y
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)*y\left(t\right)\right\}=X\left(f\right)Y\left(f\right)}
Dualità
F
{
X
(
f
)
}
=
x
(
−
t
)
⇒
F
{
x
(
t
)
}
=
F
−
1
{
x
(
−
t
)
}
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{X\left(f\right)\right\}=x\left(-t\right)\Rightarrow {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\mathcal {F}}^{-1}\left\{x\left(-t\right)\right\}}
Funzione porta
F
{
Π
T
(
t
)
}
=
T
s
i
n
c
(
f
T
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{{\Pi }_{T}\left(t\right)\right\}=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)}
Segnale numerico Nel trasferimento in modulazione di un segnale digitale, il segnale sagomatore di riferimento viene moltiplicato in ampiezza per +1 o −1 (invertito) a seconda se il bit da trasferire è rispettivamente 1 o 0. Generalizzando da una base binaria a una base qualunque, il segnale sagomatore
r
(
t
−
i
T
)
{\displaystyle r\left(t-iT\right)}
a
i
{\displaystyle a_{i}}
x
(
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)}
x
(
t
)
=
∑
i
=
−
∞
+
∞
a
i
r
(
t
−
i
T
)
cos
(
2
π
f
0
t
)
{\displaystyle x\left(t\right)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }a_{i}r\left(t-iT\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}}
Per la proprietà del ritardo:
F
{
r
(
t
−
i
T
)
}
=
R
(
f
)
e
−
j
2
π
f
i
T
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{r\left(t-iT\right)\right\}=R\left(f\right)e^{-j2\pi fiT}}
Per la proprietà di linearità:
F
{
∑
i
=
−
∞
+
∞
a
i
r
(
t
−
i
T
)
}
=
∑
i
=
−
∞
+
∞
a
i
F
{
r
(
t
−
i
T
)
}
=
R
(
f
)
∑
−
∞
+
∞
a
i
e
−
j
2
π
f
i
T
=
Z
(
f
)
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{\sum _{i=-\infty }^{+\infty }a_{i}r\left(t-iT\right)\right\}=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }a_{i}{\mathcal {F}}\left\{r\left(t-iT\right)\right\}=R\left(f\right)\sum _{-\infty }^{+\infty }a_{i}e^{-j2\pi fiT}=Z\left(f\right)}
Siccome
R
(
t
)
{\displaystyle R\left(t\right)}
z
(
t
)
{\displaystyle z\left(t\right)}
r
(
t
)
{\displaystyle r\left(t\right)}
Z
(
t
)
{\displaystyle Z\left(t\right)}
Infine per la proprietà di modulazione:
F
{
x
(
t
)
}
=
1
2
[
Z
(
f
−
f
0
)
+
Z
(
f
−
f
0
)
]
{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\frac {1}{2}}\left[Z\left(f-f_{0}\right)+Z\left(f-f_{0}\right)\right]}
↑ Questa proprietà discende direttamente dalla linearità dell'operatore integrale.
↑ Si noti che se la funzione o la sua trasformata hanno supporto infinito non si può dire niente sul supporto della corrispondente funzione.
![{\displaystyle \left[-a,+a\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451fa5ff4d061afc822bcd0ba0a2bcef727cf20d)
![{\displaystyle \left[-b,+b\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8567f0caff06286e66948b0cef6725c1ba3e089)
![{\displaystyle \left[-\left(b+a\right),+\left(b+a\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fc1ad894ad798bd6bb2d8450944d8d228f0620f)
.png)
.png)
![{\displaystyle x\left(t\right)*\left[y\left(t\right)*w\left(t\right)\right]=\left[x\left(t\right)*y\left(t\right)\right]*w\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7435162bcc580a45fb33d68e8b1e6d23d726268d)
![{\displaystyle x\left(t\right)*\left[y\left(t\right)+w\left(t\right)\right]=x\left(t\right)*y\left(t\right)+x\left(t\right)*w\left(t\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a183c8c63a5ac453fe6c1ef30766a59d9ce813a3)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\cos {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2}}\left[X\left(f-f_{0}\right)+X\left(f+f_{0}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43cf2767c7912c4399e42db03c266b9ffbc1d5f9)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\sin {\left(2\pi f_{0}t\right)}\right\}={\frac {1}{2j}}\left[X\left(f-f_{0}\right)-X\left(f+f_{0}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9879e8e5c2825bbc1cf363d7afc4605771d65699)
.png)
![{\displaystyle {\mathcal {F}}\left\{x\left(t\right)\right\}={\frac {1}{2}}\left[Z\left(f-f_{0}\right)+Z\left(f-f_{0}\right)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ef62809bd7561c2a8ae53dbe770d4d934d05db)