Teoria dei segnali2/Segnali periodici

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I segnali periodici:

sono un caso particolare dei segnali ciclici:

Trasformata di Fourier di un segnale periodico[modifica]

La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:

quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico :

da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:

dove:

e poiché è il segnale troncato in :

La trasformata di Fourier del segnale è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di , della trasformata di Fourier del segnale troncato :

Treno di impulsi[modifica]

Considerando come segnale periodico il segnale campionatore, o treno di impulsi:

secondo la formula appena ricavata la sua trasformata, poiché , è ancora un treno di impulsi:

Siccome per definizione di trasformata di Fourier vale anche:

vale anche la seguente uguaglianza:

Aumentare il periodo del treno di impulsi nel periodo del tempo corrisponde a diminuire il suo periodo nel dominio della frequenza.

Campionamento nel tempo e periodicizzazione in frequenza[modifica]

Moltiplicando un segnale per un treno di impulsi si ottiene:

  • nel dominio del tempo una sequenza equispaziata di suoi campioni:
  • nel dominio della frequenza una trasformata periodica di periodo :

Quindi si ottiene la seguente relazione:

Periodicizzazione nel tempo e campionamento in frequenza[modifica]

Facendo il prodotto di convoluzione di un segnale per un treno di impulsi si ottiene:

  • nel dominio del tempo un segnale periodico di periodo pari alla spaziatura degli impulsi:
  • nel dominio della frequenza una trasformata campionata con spaziatura :

Quindi si ottiene una relazione parallela alla precedente:

Rappresentazioni di un segnale periodico[modifica]

Il segnale :

è periodico di periodo anche quando il segnale non è a supporto limitato in , e quindi nella periodicizzazione di alcune parti si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:

La seguente rappresentazione di un segnale periodico :

non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali che:

  • nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato all'interno del periodo :
  • nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze , le uniche che contano nel segnale periodico:

Esempio: segnale periodico costante[modifica]

Il segnale periodico costante si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:

che hanno due differenti supporti (rispettivamente e ), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo ) vengono a coincidere.

Nel dominio della frequenza i campioni di e coincidono:

Constant signal decomposition.png

Esempio[modifica]

Considerando i segnali , di supporto , e , di supporto :

e campionando le loro trasformate di Fourier:

nelle frequenze , i campioni coincidono:

Periodic gate functions.png