Teoria dei segnali2/Segnali periodici

I segnali periodici:

$x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)$

sono un caso particolare dei segnali ciclici:

$x_{c}\left(t\right)=\int _{n_{1}}^{n_{2}}x_{T}\left(t-nT\right)\neq x_{c}\left(t+T\right)$

Trasformata di Fourier di un segnale periodico

La serie di Fourier derivata per il segnale a supporto finito:

$x_{T}\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}\,,\quad -{\frac {T}{2}}\leq t\leq {\frac {T}{2}}\,\quad {\mu }_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x_{T}\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt$

quando interpretata su tutto l'asse dei tempi è anche la serie di Fourier del segnale periodico $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}\,,\quad \forall t$

da cui si può ottenere la trasformata di Fourier del segnale periodico:

$X\left(f\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{j{\frac {2\pi }{T}}nt}e^{-j2\pi ft}dt=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\mu }_{n}\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)$

dove:

${\mu }_{n}={\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt=$

e poiché $x_{T}\left(t\right)$ è il segnale $x\left(t\right)$ troncato in $\left[0,T\right]$:

$={\frac {1}{T}}\int _{-\infty }^{+\infty }x_{T}\left(t\right)e^{-j{\frac {2\pi }{T}}nt}dt={\frac {1}{T}}X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)$

La trasformata di Fourier del segnale $x\left(t\right)$ è quindi una sommatoria dei campioni, presi a multipli di ${\frac {1}{T}}$, della trasformata di Fourier del segnale troncato $x_{T}\left(t\right)$:

$X\left(f\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)$

Treno di impulsi

Considerando come segnale periodico il segnale campionatore, o treno di impulsi:

$c_{T}\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-nT\right)$

secondo la formula appena ricavata la sua trasformata, poiché ${\mathcal {F}}\left\{\delta \left(t\right)\right\}=1$, è ancora un treno di impulsi:

$C_{T}\left(f\right)={\frac {1}{T}}\sum _{-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)$

Siccome per definizione di trasformata di Fourier vale anche:

$C_{T}\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{c_{T}\left(t\right)\right\}=\sum _{-\infty }^{+\infty }e^{-j2\pi fnT}$

vale anche la seguente uguaglianza:

$\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-j2\pi nfT}={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-{\frac {n}{T}}\right)$

Aumentare il periodo del treno di impulsi nel periodo del tempo corrisponde a diminuire il suo periodo nel dominio della frequenza.

Campionamento nel tempo e periodicizzazione in frequenza

Moltiplicando un segnale $x\left(t\right)$ per un treno di impulsi si ottiene:

• nel dominio del tempo una sequenza equispaziata di suoi campioni:

  $x\left(t\right)\cdot c_{T}\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)\delta \left(t-nT\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(nT\right)\delta \left(t-nT\right)$

• nel dominio della frequenza una trasformata periodica di periodo ${\frac {1}{T}}$:

  $X\left(f\right)*C_{T}\left(f\right)=X\left(f\right)*{\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(f\right)*\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(f-{\frac {n}{T}}\right)$

Quindi si ottiene la seguente relazione:

${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)\delta \left(t-nT\right)\right\}={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(f\right)*\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)$

Periodicizzazione nel tempo e campionamento in frequenza

Facendo il prodotto di convoluzione di un segnale $x\left(t\right)$ per un treno di impulsi si ottiene:

• nel dominio del tempo un segnale periodico di periodo pari alla spaziatura degli impulsi:

  $x\left(t\right)*c_{T}\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)*\delta \left(t-nT\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(t-nT\right)$

• nel dominio della frequenza una trasformata campionata con spaziatura ${\frac {1}{T}}$:

  $X\left(f\right)\cdot C_{T}\left(t\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(f\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)$

Quindi si ottiene una relazione parallela alla precedente:

${\mathcal {F}}\left\{\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)*\delta \left(t-nT\right)\right\}={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(f\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)$

Rappresentazioni di un segnale periodico

Il segnale $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)$

è periodico di periodo $T$ anche quando il segnale $z\left(t\right)$ non è a supporto limitato in $\left[0,T\right]$, e quindi nella periodicizzazione di $z\left(t\right)$ alcune parti si vanno a sovrapporre. La sua trasformata di Fourier vale ancora:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=z\left(t\right)*\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-nT\right)$

$X\left(f\right)=Z\left(f\right){\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }Z\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(t-{\frac {n}{T}}\right)$

La seguente rappresentazione di un segnale periodico $x\left(t\right)$:

$x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x\left(t+T\right)$

non è univoca, ma possono essere utilizzati tutti i segnali $z\left(t\right)$ che:

• nel dominio del tempo: coincidono con il segnale troncato $x_{T}\left(t\right)$ all'interno del periodo $T$:

  $z\left(t\right):\,\sum _{n=-\infty }^{+\infty }z\left(t-nT\right)=x_{T}\left(t\right)\quad \forall t\in \left[0,T\right]$

• nel dominio della frequenza: assumono gli stessi valori della trasformata di Fourier nelle frequenze ${\tfrac {n}{T}}$, le uniche che contano nel segnale periodico:

  $X\left(f\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X_{T}\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }Z\left({\frac {n}{T}}\right)\delta \left(f-{\frac {n}{T}}\right)$

Esempio: segnale periodico costante

Il segnale periodico costante $x\left(t\right)=1$ si può rappresentare come sommatoria di due diverse funzioni periodiche:

${\begin{cases}x\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\Pi }_{T}\left(t-nT\right)\\z\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }{\Lambda }_{T}\left(t-nT\right)=x\left(t\right)\end{cases}}$

che hanno due differenti supporti (rispettivamente $T$ e $2T$), ma che nella periodicizzazione (di egual periodo $T$) vengono a coincidere.

Nel dominio della frequenza i campioni di $X_{T}\left(f\right)$ e $Z\left(f\right)$ coincidono:

${\begin{cases}X\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{{\Lambda }_{T}\left(t\right)\right\}=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\\Z\left(f\right)={\mathcal {F}}\left\{{\Pi }_{T}\left(t\right)\right\}=T{\mathrm {sinc} }^{2}\left(fT\right)\end{cases}}$

Esempio

Considerando i segnali $x_{2T}\left(t\right)$, di supporto $2T$, e $z\left(t\right)$, di supporto $4T$:

${\begin{cases}x_{2T}\left(t\right)={\Pi }_{T}\left(t+{\frac {T}{2}}\right)-{\Pi }_{T}\left(t-{\frac {T}{2}}\right)\\z\left(t\right)={\Pi }_{T}\left(t+{\frac {T}{2}}\right)-{\Pi }_{T}\left(t-{\frac {5T}{2}}\right)\end{cases}}$

e campionando le loro trasformate di Fourier:

${\begin{cases}X_{2T}\left(f\right)=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\left(e^{j\pi fT}-e^{-j\pi fT}\right)\\Z\left(f\right)=T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\left(e^{j\pi fT}-e^{-j\pi f5T}\right)\end{cases}}$

nelle frequenze ${\tfrac {n}{2T}}$, i campioni coincidono:

${\begin{cases}X_{2T}\left({\frac {n}{2T}}\right)=T\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\left(e^{jn{\frac {\pi }{2}}}-e^{-jn{\frac {\pi }{2}}}\right)=jT\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\sin {\frac {\pi n}{2}}\\Z\left({\frac {n}{2T}}\right)=T\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\left(e^{jn{\frac {\pi }{2}}}-e^{-j\pi n{\frac {5}{2}}}\right)=jT\mathrm {sinc} \left({\frac {n}{2}}\right)\sin {\frac {\pi n}{2}}=X_{2T}\left({\frac {n}{2T}}\right)\end{cases}}$