Teoria dei segnali2/Campionamento

Un segnale analogico è più facile da elaborare se viene campionato in un segnale numerico, cioè tempo discreto e discreto in ampiezza. Come campionare un segnale tempo-continuo senza perdere informazione?

Teorema del campionamento (o di Nyquist-Shannon)

Un segnale tempo-continuo può essere campionato e perfettamente ricostruito a partire dai suoi campioni se la frequenza di campionamento $f_{c}$ è maggiore del doppio della banda $B$ del segnale:

$f_{c}\triangleq {\frac {1}{T_{c}}}>2B$

con la condizione che la banda $B$ sia limitata.

Il teorema del campionamento garantisce che il segnale campionato può essere ricostruito perfettamente tramite un filtro interpolatore (ricostruttore), e che il segnale ricostruito coinciderà con il segnale tempo-continuo di partenza.

Filtro anti-aliasing

La maggioranza dei segnali utilizzati nella realtà ha banda illimitata: esiste un intervallo al di fuori del quale il segnale è significativamente vicino a zero, ma non è mai identicamente nullo. Il segnale campionato quindi presenterà nel dominio della frequenza delle sovrapposizioni degli spettri che alla fine non possono essere ricostruite dal filtro interpolatore. Il filtro anti-aliasing serve per eliminare le parti ad alta frequenza prima del campionamento:

$\mathrm {AA} \left(f\right){\begin{cases}=0&\left|f\right|>B_{\mathrm {AA} }\\\neq 0&{\text{altrove}}\end{cases}}$

con $B_{x}<B_{\mathrm {AA} }<{\tfrac {f_{c}}{2}}$. La distorsione del filtro anti-aliasing non è ugualmente rimediabile, ma è comunque preferibile rispetto all'effetto di aliasing (o sovrapposizione).

Campionatori reali

Il campionatore ideale (treno di delta):

$x'\left(t\right)=x\left(t\right)*\delta \left(-t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }\delta \left(t-nT_{c}\right)x\left(t\right)$

è impossibile da realizzare nella realtà, perché la delta $\delta \left(t\right)$ è un impulso con ampiezza illimitata e supporto infinitesimo → si utilizza un impulso $h\left(t\right)$ il più possibile simile alla delta, cioè con ampiezza molto grande e supporto molto piccolo:

$x'\left(t\right)=x\left(t\right)*h\left(-t\right)\Rightarrow x'\left(nT_{c}\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }h\left(\tau -nT_{c}\right)x\left(\tau \right)d\tau$

Interpolatori

Condizioni ideali

Un segnale campionato:

${\begin{cases}x_{c}\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(nT_{c}\right)\delta \left(t-nT_{c}\right)\\X_{c}\left(f\right)={\frac {1}{T_{c}}}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(f-{\frac {n}{T_{c}}}\right)\end{cases}}$

può essere ricostruito tramite un filtro passa-basso ideale, detto filtro ricostruttore ottimo $K\left(f\right)$:

$x\left(t\right)=x_{c}\left(t\right)*K\left(t\right)=\left[\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(nT_{c}\right)\delta \left(t-nT_{c}\right)\right]*K\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(nT_{c}\right)K\left(t-nT_{c}\right),\quad K\left(f\right)={\begin{cases}T_{c}&\left|f\right|<B\\{\text{qualsiasi valore}}&B<\left|f\right|<f_{c}-B\\0&\left|f\right|>f_{c}-B\end{cases}}$

Il filtro ricostruttore ottimo $K\left(f\right)$ deve essere:

• non distorcente nella banda del segnale (piatto);
• nullo al di fuori della banda del segnale per eliminare le componenti ad alta frequenza.

Esempi di interpolatori distorcenti

Costante a tratti

Il segnale viene approssimato a una serie di rettangoli:

${\begin{cases}K\left(t\right)={\Pi }_{T_{c}}\left(t\right)\\K\left(f\right)=T_{c}\mathrm {sinc} \left(fT_{c}\right)\end{cases}}$

Lineare

Il segnale viene approssimato a una serie di trapezi:

${\begin{cases}K\left(t\right)={\Lambda }_{T_{c}}\left(t\right)\\K\left(f\right)=T_{c}{\mathrm {sinc} }^{2}\left(ft_{c}\right)\end{cases}}$

Esempi di interpolatori non distorcenti

Funzione sinc

Il filtro interpolatore ideale è il seguente:

${\begin{cases}K\left(t\right)=BT_{c}\mathrm {sinc} \left(tB\right)\\K\left(f\right)=T_{c}\Pi _{B}\left(f\right)\end{cases}}$

perché il segnale viene ricostruito da una sommatoria di infinite funzioni sinc, dove per ogni $n$ esiste una sinc che assume esattamente il valore del campione $n$-esimo all'istante $nT_{c}$ e un valore nullo in tutti gli altri istanti di campionamento:

$x\left(t\right)=BT_{c}\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x\left(nT_{c}\right)\mathrm {sinc} \left(B\left(t-nT_{c}\right)\right)$

Tuttavia nei punti intermedi agli istanti di campionamento il segnale $x\left(t\right)$ è dato dalla somma dei contributi di infinite funzioni sinc:

Coseno rialzato

$K\left(t\right)=NT_{c}\mathrm {sinc} \left(Bt\right)\cdot {\frac {\cos {\alpha B\pi t}}{1-{\alpha Bt}^{2}}}$

Condizioni:

• roll-off $\alpha$: $0<\alpha <1$ (se $\alpha =0$ diventa la funzione sinc)
• ${\frac {B}{2}}\left(1-\alpha \right)>B_{x}$
• ${\frac {B}{2}}\left(1+\alpha \right)<f_{c}-B_{x}$

Condizioni reali

Il filtro ricostruttore può integrare anche un filtro equalizzatore che rimedi agli effetti del filtro anti-aliasing e alle distorsioni provocate da un campionatore reale:

$K\left(f\right)={\begin{cases}{\frac {T_{c}}{\mathrm {AA} \left(f\right)H\left(f\right)}}&\left|f\right|<B_{\mathrm {AA} }\\0&\left|f\right|>f_{c}-B_{\mathrm {AA} }\end{cases}}$

a patto che $H\left(f\right)$, cioè la trasformata di Fourier dell'impulso campionatore $h\left(t\right)$, non cancelli definitivamente qualche frequenza compresa nella banda $B_{\mathrm {AA} }$ del filtro anti-aliasing:

$H\left(f\right)\neq 0\quad \forall \left|f\right|<B_{\mathrm {AA} }$