Teoria dei segnali2/Processi casuali

Un processo casuale è un'espressione matematica che descrive una classe di segnali (voce, video, dati...), tramite una o più variabili casuali che corrispondono alle caratteristiche della classe di segnali. Nel caso dei segnali vocali, teoricamente si dovrebbe registrare un certo numero statistico di parlatori e cercare di capire quali caratteristiche (come la frequenza) sono proprie di un segnale vocale, associando a ciascuna caratteristica di ciascun parlatore una probabilità.

Un processo casuale $X\left(t\right)$ è quasi determinato se è esprimibile in funzione di un insieme numerabile di variabili casuali.

Il verificarsi dell'evento $s_{i}$ produce la realizzazione $x\left(t;s_{i}\right)$; fissato un certo $t_{0}$, si ottiene una serie di campioni $x\left(t_{0},s_{i}\right)$.

• processi quasi determinati: segnale numerico, sinusoide, segnale sample & hold
• processi non quasi determinati: rumore termico, segnale vocale, segnale audio

Esempi di segnali quasi determinati

Segnale numerico	Segnale sample & hold	Sinusoide
$X\left(t\right)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }{\alpha }_{i}r\left(t-iT\right)$	$X_{S}\left(t\right)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }X\left(nT\right)h\left(t-nT\right)$	$X\left(t\right)=A\cos {\left(2\pi ft+\varphi \right)}$

I segnali determinati sono dei casi degeneri dei processi casuali, perché un segnale determinato è la manifestazione di un'unica realizzazione avente probabilità 1 (non ci sono variabili casuali).

Descrizione probabilistica

Statistiche

Consideriamo un processo casuale $X\left(t;s\right)$ contenente la sola variabile casuale $s$ → a ogni valore $s_{j}$ è associata una realizzazione $x\left(t;s_{j}\right)$ (con $j=1,\ldots ,M$).

Statistica di ordine 1

Fissato un tempo $t_{1}$, l'insieme dei campioni $x_{1}=x\left(t_{1},s_{j}\right)$ costituisce l'insieme dei valori per la variabile casuale $X_{1}=x\left(t_{1}\right)$, per la quale è possibile definire la distribuzione cumulativa $F_{X_{1}}\left(x_{1};t_{1}\right)$ e la densità di probabilità $f_{X_{1}}\left(x_{1};t_{1}\right)$:

$F_{X_{1}}\left(x_{1};t_{1}\right)=P\left(X_{1}<x_{1}\right)$

$f_{X_{1}}\left(x_{1};t_{1}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}F_{X_{1}}\left(x_{1};t_{1}\right)$

Statistica di ordine n

Considerando $n$ istanti di tempo $t_{i}$, si introduce una probabilità congiunta tra le $n$ variabili casuali $X_{i}$:

$F_{\mathbf {X} }\left(\mathbf {x} ;\mathbf {t} \right)=F_{X_{1},\ldots ,X_{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n};t_{1},\ldots ,t_{n}\right)=P\left(X_{1}<x_{1},\ldots ,X_{n}<x_{n}\right)$

$f_{\mathbf {X} }\left(\mathbf {x} ;\mathbf {t} \right)=f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n};t_{1},\ldots ,t_{n}\right)={\frac {{\partial }^{n}}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}F_{\mathbf {X} }\left(\mathbf {x} ;\mathbf {t} \right)$

Un processo casuale è completamente caratterizzato/descritto se si conoscono le statistiche di qualsiasi ordine ($n\to \infty$).

Media e autocorrelazione

Media d'insieme

$m_{X}\left(t\right)\triangleq E\left(X\left(t\right)\right)=\int xf_{X}\left(x;t\right)dx$

Funzione di autocorrelazione

$R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)\triangleq E\left(X\left(t_{1}\right)X^{*}\left(t_{2}\right)\right)=\iint x_{1}x_{2}^{*}f_{X_{1},X_{2}}\left(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2}\right)dx_{1}dx_{2}$

Autocovarianza

$K_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)\triangleq E\left\{\left[X\left(t_{1}\right)-m_{X}\left(t_{1}\right)\right]\left[X\left(t_{2}\right)-m_{X}\left(t_{2}\right)\right]^{*}\right\}=R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)-m_{X}\left(t_{1}\right)m_{X}^{*}\left(t_{2}\right)$

Coefficiente di correlazione

$\rho _{X}\left(t_{1},t_{2}\right)\triangleq {\frac {K_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)}{\sqrt {K_{X}\left(t_{1},t_{1}\right)K_{X}\left(t_{2},t_{2}\right)}}}$