Teoria dei segnali2/Spettro di energia e segnali troncati

Segnali troncati

A volte non si conosce il segnale su tutto il supporto ma solo su un certo intervallo $T$:

${\begin{cases}x_{T}\left(t\right)=x\left(t\right)\cdot \Pi _{T}\left(t\right)\\X_{T}\left(f\right)=X\left(f\right)*{\mathcal {F}}\left\{\Pi _{T}\left(t\right)\right\}=X\left(f\right)*T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\end{cases}}$

Se il segnale $x\left(t\right)$ ha una banda limitata in frequenza:

$X\left(f\right)=0\quad \left|f\right|>{\frac {B}{2}}$

si può scrivere:

$X_{T}\left(f\right)=T\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}X\left(\varphi \right)\mathrm {sinc} \left(\left(f-\varphi \right)T\right)d\varphi$

Siccome un segnale a supporto limitato nel tempo non può avere una banda limitata in frequenza e viceversa, il segnale $x\left(t\right)$ è a banda limitata e al contrario il segnale troncato ha una banda illimitata:

$X_{T}\left(f\right)\neq 0\quad \left|f\right|>{\frac {B}{2}}$

per effetto delle oscillazioni della funzione sinc:

Fenomeno di Gibbs

Benché facendo tendere la funzione sinc a una delta si eliminano le oscillazioni:

$\lim _{T\to +\infty }\left[T\mathrm {sinc} \left(fT\right)\right]=\delta \left(f\right)$

la seguente relazione:

$\lim _{T\to +\infty }X_{T}\left(f\right)=X\left(f\right)$

continua a non valere se il segnale $x\left(t\right)$ presenta delle discontinuità nel dominio delle frequenze.

Esempio

${\begin{cases}x\left(t\right)=B\mathrm {sinc} \left(Bt\right)\\X\left(f\right)=\Pi _{B}\left(f\right)\end{cases}}$

Facendo tendere $T$ a infinito si possono restringere le oscillazioni secondarie fino a rette verticali, come nel segnale di partenza, ma i massimi e i minimi, rispettivamente 1,09 e −0,09, non cambiano e rimangono diversi da quelli del segnale di partenza, rispettivamente 1 e 0:

Spettri di energia e di potenza e funzione di autocorrelazione

Segnali a energia finita

Spettro di energia

Lo spettro di energia $S_{x}\left(f\right)$ di un segnale dà informazioni sul contenuto di energia alle singole frequenze:

$S_{x}\left(f\right)\triangleq {\left|X\left(f\right)\right|}^{2}=X\left(f\right)X^{*}\left(f\right)\Rightarrow E\left(x\right)=\int S_{x}\left(f\right)df$

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI:

$Y\left(f\right)=H\left(f\right)X\left(f\right)\Rightarrow S_{y}\left(f\right)={\left|H\left(f\right)\right|}^{2}S_{x}\left(f\right)\Rightarrow E\left(y\right)=\int S_{y}\left(f\right)df$

Funzione di autocorrelazione

La funzione di autocorrelazione $R_{x}\left(\tau \right)$ è definita:

$R_{x}\left(\tau \right)\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}\left\{S_{x}\left(f\right)\right\}=x\left(\tau \right)*x^{*}\left(-\tau \right)=\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)dt=\langle x\left(t+\tau \right),x\left(t\right)\rangle$

Nell'origine:

$R_{x}\left(0\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }x\left(t\right)x^{*}\left(t\right)dt=E\left(x\right)\in {\mathbb {R} }^{+}$

Proprietà

• Per la funzione di autocorrelazione vale la simmetria hermitiana:

$R_{x}\left(\tau \right)=R_{x}^{*}\left(-\tau \right)$

Se il segnale $x\left(t\right)$ è reale, la funzione di autocorrelazione è pari:

$R_{x}\left(\tau \right)=R_{x}\left(-\tau \right)$

• Per la disuguaglianza di Schwarz, la funzione di autocorrelazione ha un massimo nell'origine:

${\left|R_{x}\left(\tau \right)\right|}^{2}={\left|\int x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)dt\right|}^{2}\leq E^{2}\left(x\right)=R_{x}^{2}\left(0\right)$

Mutua correlazione

Considerando una coppia di segnali $x\left(t\right)$ e $y\left(t\right)$, si definiscono funzione di mutua correlazione $R_{xy}\left(\tau \right)$:

$R_{xy}\left(\tau \right)\triangleq x\left(\tau \right)*y\left(-\tau \right)=\int x\left(t+\tau \right)y^{*}\left(t\right)dt=R_{yx}^{*}\left(\tau \right)$

e spettro di energia mutua $S_{xy}\left(f\right)$:

$S_{xy}\left(f\right)\triangleq {\mathcal {F}}\left(R_{xy}\left(\tau \right)\right)=X\left(f\right)Y^{*}\left(f\right)=S_{yx}^{*}\left(f\right)$

Considerando la somma $z\left(t\right)$ di questi due segnali:

${\left|Z\left(f\right)\right|}^{2}={\left|X\left(f\right)\right|}^{2}+{\left|Y\left(f\right)\right|}^{2}+2\Re {\left\{X\left(f\right)Y^{*}\left(f\right)\right\}}\Rightarrow {\begin{cases}S_{z}\left(f\right)=S_{x}\left(f\right)+S_{y}\left(f\right)+2\Re {\left\{S_{xy}\left(f\right)\right\}}\\R_{z}\left(\tau \right)=R_{x}\left(\tau \right)+R_{y}\left(\tau \right)+2\Re {\left\{R_{xy}\left(\tau \right)\right\}}\end{cases}}$

Dimostrazione

$R_{z}\left(\tau \right)=\int _{-\infty }^{+\infty }z\left(t+\tau \right)z^{*}\left(t\right)dt=\int _{-\infty }^{+\infty }\left[x\left(t+\tau \right)+y\left(t+\tau \right)\right]\left[x^{*}\left(t\right)+y^{*}\left(t\right)\right]dt=R_{x}\left(\tau \right)+R_{y}\left(\tau \right)+R_{xy}\left(\tau \right)+R_{yx}\left(\tau \right)=R_{x}\left(\tau \right)+R_{y}\left(\tau \right)+2\Re {\left\{R_{xy}\left(\tau \right)\right\}}$

Segnali periodici

Ricordando le formule della potenza e dell'energia, la potenza media di un segnale periodico $x\left(t\right)$ è finita:

${\begin{cases}P\left(x\right)={\frac {1}{T}}E\left(x_{T}\right)\\E\left(x_{T}\right)=T\sideset {}{_{i}}\sum {\left|\mu _{i}\right|}^{2}\end{cases}}\Rightarrow P\left(x\right)=\sideset {}{_{i}}\sum {\left|\mu _{i}\right|}^{2}\in \mathbb {R}$

Spettro di potenza

Lo spettro di potenza $G_{x}\left(f\right)$ di un segnale periodico $x\left(t\right)$ vale:

$G_{x}\left(f\right)\triangleq \sideset {}{_{i}}\sum {\left|\mu _{i}\right|}^{2}\delta \left(f-{\frac {i}{T}}\right)$

La formula dello spettro di potenza $G_{x}\left(f\right)$ ricorda quella della trasformata di Fourier di $x\left(t\right)$:

$X\left(f\right)=\sum _{i=-\infty }^{+\infty }{\mu }_{i}\delta \left(f-{\frac {i}{T}}\right)$

Funzione di autocorrelazione

La funzione di autocorrelazione $R_{x}\left(\tau \right)$ di un segnale periodico $x\left(t\right)$ vale:

$R_{x}\left(\tau \right)\triangleq {\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)dt$

Si noti che la formula della funzione di autocorrelazione per un segnale periodico è leggermente diversa da quella per i segnali non periodici definita sopra.

Segnali aperiodici a potenza finita

Tutti i segnali periodici hanno potenza finita, ma non tutti i segnali a potenza finita sono periodici.

Spettro di energia

Per segnali non periodici ma a potenza finita si definisce periodogramma lo spettro di energia del segnale troncato $x_{T}\left(t\right)$ (normalizzato):

$S_{T}\left(f\right)\triangleq {\frac {1}{T}}{\left|X_{T}\left(f\right)\right|}^{2}$

dove $T$ è un intervallo a piacere.

Spettro di potenza

Lo spettro di potenza $G_{x}\left(f\right)$ è definito:

$G_{x}\left(f\right)\triangleq \lim _{T\to +\infty }S_{T}\left(f\right)=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}{\left|X_{T}\left(f\right)\right|}^{2}$

Anche in questo caso la formula dello spettro di potenza per segnali aperiodici è differente da quella per segnali periodici.

Per un segnale all'uscita di un sistema LTI, lo spettro di potenza è pari a:

$G_{y}\left(f\right)=G_{x}\left(f\right){\left|H\left(f\right)\right|}^{2}$

Funzione di autocorrelazione

La funzione di autocorrelazione $\Phi _{x}\left(\tau \right)$ è definita:

$\Phi _{x}\left(\tau \right)\triangleq {\mathcal {F}}^{-1}\left\{G_{x}\left(f\right)\right\}=\lim _{T\to +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)dt$

L'integrale $\int _{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}x\left(t+\tau \right)x^{*}\left(t\right)dt$ cresce linearmente con $T$, quindi questa crescita è compensata da ${\tfrac {1}{T}}$.