Teoria dei segnali2/Stazionarietà

Stazionarietà

Un processo è stazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per un qualsiasi intervallo di tempo, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

${\text{se }}x\left(t\right)\in {\mathcal {P}}\Rightarrow {\begin{cases}x\left(t-t_{0}\right)\in {\mathcal {P}}\\P\left(x\left(t\right)\right)=P\left(x\left(t-t_{0}\right)\right)\end{cases}}\quad \forall t_{0}$

Esempi

• processi stazionari: sinusoide con fase variabile casuale, rumore termico
• processi non stazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato

Stazionarietà in senso stretto

Siccome per la densità di probabilità congiunta $f_{\mathbf {X} }$ vale:

$f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},\ldots ,x_{n};t_{1},\ldots ,t_{n}\right)=f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},\ldots ,x_{n};t_{1}+t_{0},\ldots ,t_{n}+t_{0}\right)\quad \forall t_{0}$

si può far coincidere il primo istante di tempo con l'origine ($t_{0}=-t_{1}$) eliminando una variabile temporale → le statistiche di ordine $n$ dipendono da $n-1$ variabili, che rappresentano la differenza di tempo rispetto al primo campione, che si può sempre assumere nell'origine. Ad esempio, per un processo stazionario in senso stretto di ordine $n$ vale:

${\begin{array}{l}f_{X_{1}}\left(x_{1};t_{1}\right)=f_{X_{1}}\left(x_{1};t_{1}-t_{1}\right)=f_{X_{1}}\left(x_{1};0\right)\\f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2}\right)=f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},x_{2};0,t_{2}-t_{1}\right)=f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},x_{2};0,\tau \right)\\\vdots \\f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},\ldots ,x_{n};t_{1},\ldots ,t_{n}\right)=f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},\ldots ,x_{n};\tau _{1},\ldots ,\tau _{n-1}\right)\\\end{array}}$

Stazionarietà in senso lato (WSS)

• Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 1, la media $m_{X}\left(t\right)$ è una costante e non dipende dal tempo:

$m_{X}\left(t\right)=m_{X}$

Dimostrazione

$m_{X}\left(t\right)=\int xf_{X}\left(x;t\right)dx=\int xf_{X}\left(x;0\right)dx=m_{X}$

• Se il processo è stazionario in senso stretto di ordine 2, la funzione di autocorrelazione $R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)$ dipende solo dalla differenza $\tau =t_{2}-t_{1}$:

$R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)=R_{X}\left(\tau \right)=E\left[X\left(t\right)X^{*}\left(t+\tau \right)\right]$

Dimostrazione

$R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)=\int x_{2}x_{2}^{*}f_{X}\left(x_{1},x_{2};t_{1},t_{2}\right)dx_{1}dx_{2}=\int x_{1}x_{2}^{*}f_{X}\left(x_{1},x_{2};0,\tau \right)dx_{1}dx_{2}=R_{X}\left(\tau \right)$

Un processo è stazionario in senso lato se la media $m_{X}\left(t\right)$ è una costante, e la funzione di autocorrelazione $R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)$ dipende solo da $\tau$:

${\begin{cases}m_{X}\left(t\right)=m_{X}\\R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)=R_{X}\left(\tau \right)\end{cases}}$

La stazionarietà in senso lato non implica la stazionarietà in senso stretto.

Ciclostazionarietà

Un processo è ciclostazionario se la traslazione di una sua realizzazione, per multipli di una costante finita $T$ detta periodo di stazionarietà, produce un'altra sua possibile realizzazione, e se tutte queste realizzazioni hanno la stessa probabilità:

$\exists T:{\text{se }}x\left(t\right)\in {\mathcal {P}}\Rightarrow {\begin{cases}x\left(t-iT\right)\in {\mathcal {P}}\\P\left(x\left(t\right)\right)=P\left(x\left(t-iT\right)\right)\end{cases}}\quad \forall i\in \mathbb {Z}$

Esempi

• processi ciclostazionari: segnale numerico, segnale sample & hold, sinusoide con ampiezza variabile casuale, segnale determinato periodico, processi stazionari
• processi non ciclostazionari: segnale determinato non periodico

Ciclostazionarietà in senso stretto

Un processo è ciclostazionario in senso stretto se la densità di probabilità congiunta $f_{\mathbf {X} }$ è periodica di periodo $T$:

$f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},\ldots ,x_{n};t_{1},\ldots ,t_{n}\right)=f_{\mathbf {X} }\left(x_{1},\ldots ,x_{n};t_{1}-iT,\ldots ,t_{n}-iT\right)\quad \forall i\in \mathbb {Z}$

Ciclostazionarietà in senso lato

Un processo è ciclostazionario in senso lato se la media $m_{X}\left(t\right)$ è periodica, e la funzione di autocorrelazione $R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)$ è periodica rispetto a $t_{1}$ e $t_{2}$:

${\begin{cases}m_{X}\left(t\right)=m_{X}\left(t-iT\right)\\R_{X}\left(t_{1},t_{2}\right)=R_{X}\left(t_{1}-T,t_{2}-iT\right)\end{cases}}\quad \forall i\in \mathbb {Z}$

Stazionarizzazione

La stazionarietà implica la ciclostazionarietà, ma non viceversa → l'operazione di stazionarizzazione serve per trasformare un processo ciclostazionario in un processo stazionario: si aggiungono tutte le replice mancanti all'interno del periodo di ciclostazionarietà $T$, tramite la nuova variabile casuale $\theta$ che corrisponde al ritardo casuale uniforme. Questa operazione modifica il processo stesso e può essere fatta solo se ha senso nel sistema considerato: tipicamente si può fare se il sistema che lo processa è stazionario (tempo invariante).