Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Centro di massa

Lo studio della dinamica del punto materiale ci ha permesso di descrivere moltissimi fenomeni. Vogliamo però ora fare un passo avanti, e studiare la dinamica di un sistema costituito da più punti materiali. Facciamo alcune considerazioni generali. Su ogni punto agisce una forza ${\vec {F}}_{i}$, risultante delle forze esterne agenti sul punto, che indicheremo con ${\vec {F}}_{i}^{(e)}$, e delle forze interne al sistema, esercitate dagli altri punti, ${\vec {F}}_{i}^{(i)}$. In generale, la risultante delle forze interne agenti sull'i-esimo punto è diversa da zero, però la somma di tutte le forze interne è nulla. Infatti, in virtù del terzo principio della dinamica, la forza che un punto esercita sull'altro è uguale e opposta alla forza che quest'ultimo esercita sul primo punto. Ora, ogni punto avrà una sua grandezza, cioè una velocità, quantità di moto, accelerazione ecc. Definiamo quindi grandezze analoghe per l'intero sistema. Per esempio, la quantità di moto del sistema sarà la somma delle quantità di moto di ciascun punto:

${\vec {P}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}=\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}$

O ancora, l'energia cinetica totale del sistema sarà la somma delle energie cinetiche di ciascun punto:

$E_{k}=\sum _{i}E_{k,i}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}$

mentre la velocità del sistema non è la somma delle velocità dei singoli punti, e neanche l'accelerazione del sistema è la somma delle accelerazioni dei punti, come vedremo.

A ben vedere però, descrivere il moto di un insieme di più punti pare complicato. Per esempio, se lanciamo in aria una palla da golf (che possiamo considerare come un insieme continuo di punti, gli atomi che la costituiscono) senza imprimerle rotazioni, il suo moto è facile da descrivere, è parabolico. Se, invece, lanciamo per aria un martello (un altro insieme continuo di punti) il suo moto risulta più complicato. Non possiamo trattare il martello alla stregua di un punto materiale perché ogni sua parte segue traiettorie differenti. Tuttavia, se potessimo scattare molte fotografie durante il suo moto per poi confrontarle, ci accorgeremmo che difatti esiste un punto del martello che si muove di moto parabolico: il suo centro di massa.

Definizione

In generale definiamo il centro di massa di un sistema di $n$ punti materiali come il punto geometrico la cui posizione è individuata, rispetto a un determinato sistema di riferimento, dal vettore

${\vec {r}}_{cm}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}={\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+...+m_{n}{\vec {r}}_{n}}{m_{1}+...+m_{n}}}$

Le componenti di questo raggio vettore lungo tre assi cartesiani orientati saranno quindi

$x_{cm}={\frac {\sum _{i}m_{i}x_{i}}{\sum _{i}m_{i}}},\qquad y_{cm}={\frac {\sum _{i}m_{i}y_{i}}{\sum _{i}m_{i}}},\qquad z_{cm}={\frac {\sum _{i}m_{i}z_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}$

Se i punti si spostano anche la posizione del centro di massa varia. La sua velocità sarà

${\vec {v}}_{cm}={\frac {d{\vec {r}}_{cm}}{dt}}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\frac {d{\vec {r}}_{i}}{dt}}}{\sum _{i}m_{i}}}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}={\frac {\vec {P}}{M}}$

e derivando otteniamo l'accelerazione

${\vec {a}}_{cm}={\frac {d{\vec {v}}_{cm}}{dt}}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}}{M}}$

Se il moto del sistema è studiato in un sistema di riferimento inerziale, in assenza di forze apparenti, allora possiamo scrivere la seconda legge della dinamica per un singolo punto come

$m_{i}{\vec {a}}_{i}={\vec {F}}_{i}^{(e)}+{\vec {F}}_{i}^{(i)}$

quindi

$M{\vec {a}}_{cm}=\sum _{i}m_{i}{\vec {a}}_{i}=\sum _{i}({\vec {F}}_{i}^{(e)}+{\vec {F}}_{i}^{(i)})={\vec {R}}^{(e)}$

dove ${\vec {R}}^{(e)}$ indica la risultante delle forze esterne agenti sul sistema (si noti come la risultante delle forze interne sia nulla). Abbiamo quindi ottenuto la seguente equazione

${\vec {R}}^{(e)}=M{\vec {a}}_{cm}$

che esprime il teorema del centro di massa. Il centro di massa si muove come un punto materiale a cui è applicata la risultante delle forze esterne e in cui è concentrata tutta la massa del sistema. Ci siamo ricondotti al problema precedente: per studiare la dinamica di un sistema di corpi possiamo studiare il moto di un singolo punto materiale, cosa che sappiamo fare bene. Tornando all'esempio del martello, ogni punto di esso avrà una sua traiettoria, ma quella del centro di massa è semplice: è una parabola. Questo perché l'unica forza esterna agente sul martello è la forza peso. Quindi solo le forze esterne possono modificare il moto del centro di massa. Se siamo fermi e alziamo una braccio, è stata la forza dei nostri muscoli, forza interna al sistema uomo, ad averlo accelerato verso l'alto. Il nostro centro di massa però è rimasto fermo. In altre parole, non possiamo spostarci senza l'aiuto di una forza esterna. Quando camminiamo, è la forza di attrito col pavimento che ci spinge in avanti.

È bene ora fare alcune osservazioni. Il moto del centro di massa rappresenta il moto globale dei punti materiali che costituiscono il sistema. Il fatto che il centro di massa abbia una certa velocità ${\vec {v}}_{cm}$ significa che in media il sistema si sta spostando in una data direzione, anche se nessuna delle velocità dei singoli punti coincide necessariamente con ${\vec {v}}_{cm}$. Inoltre, dire che il centro di massa si muove come se lì fossero concentrate tutte le forze esterne non significa che tali forze agiscano solo sul centro di massa. Può succedere benissimo che sul centro di massa non agisca nessuna forza, ma agiscano su altri punti del sistema. Per esempio, se siamo in piedi sul pavimento la forza normale agisce sui nostri piedi, e non sul nostro centro di massa, che si trova da qualche parte a metà del nostro corpo. Il teorema ci dice solo che, se vogliamo studiare il moto del centro di massa, possiamo "far finta" che lì agiscano le forze esterne.

Facciamo infine una considerazione sul centro di massa in sé. Il centro di massa di un sistema può non essere un punto del sistema. Per esempio, il centro di massa di una sfera omogenea è il centro della sfera, ma il centro di massa della cupola di San Pietro non è un punto della cupola, ma si trova all'interno della cavità. O ancora, se due punti materiali di massa $m$ si vengono incontro con la stessa velocità, il centro di massa del sistema si trova fermo a metà del segmento che congiunge i due punti. Infatti

$x_{cm}={\frac {mx_{1}+mx_{2}}{2m}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\qquad v_{cm}={\frac {mv-mv}{2m}}=0$