Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Coppia di forze

Trattiamo brevemente il caso in cui, a un corpo rigido, è applicata una coppia di forze parallele di verso opposto. Vettorialmente, ${\vec {f_{2}}}=-{\vec {f_{1}}}$. Nell'esempio più semplice possibile, prendiamo due punti materiali, uniti da una sbarretta rigida di massa trascurabile, ai quali vengono applicate le due forze: il loro effetto è causa una rotazione dell'asta che unisce i due punti con velocità angolare $\omega$.

L'effetto è spiegato dalla seconda legge cardinale. Il momento delle forze esterne non è nullo; chiamata $b$ la lunghezza della corda e $r_{1}=r_{2}$ le distanze dei due punti dal centro di massa, avremo:

${\vec {\tau }}=\sum _{i}{\vec {r_{i}}}\wedge {\vec {f_{i}}}={\vec {r_{1}}}\wedge {\vec {f_{1}}}+{\vec {r_{2}}}\wedge {\vec {f_{2}}}=({\vec {r_{1}}}-{\vec {r_{2}}})\wedge {\vec {f_{1}}}=b\,f$

Il risultato è, ovviamente, il modulo del momento causato dalla coppia di forze, ovvero il modulo di una delle due forze moltiplicato per la distanza tra i due punti di applicazione. In questo caso abbiamo però considerato le due forze uguali e discordi; se fossero state di modulo differente e verso concorde, andavano calcolati i momenti delle forze, che avrebbero avuto senso discorde (perché avrebbero causato due rotazioni di verso opposto) e il maggiore avrebbe prevalso.

Per chiudere il modulo, sfruttiamo l'esempio del sistema composto da due punti materiali uniti. Calcoliamo allora il momento angolare del sistema:

${\begin{aligned}{\vec {J}}=&\sum _{i}{\vec {r_{1}}}\wedge m{\vec {v_{i}}}={\vec {r_{1}}}\wedge m{\vec {v_{1}}}+{\vec {r_{2}}}\wedge m{\vec {v_{2}}}=\\&{\frac {b}{2}}mv_{1}+{\frac {b}{2}}mv_{2}\end{aligned}}$

Nell'ultimo passaggio abbiamo considerato i moduli. Ricordiamo che $v=\omega r$ e, in questo caso,$v_{1}=v_{2}=\omega {\frac {b}{2}}$; sostituendo:

$|{\vec {J}}|=2\left(\omega m{\frac {b^{2}}{4}}\right)=I\omega$

Infatti il fattore $2m{\frac {b^{2}}{4}}$ corrisponde al momento d'inerzia del sistema, definito dalla somma $\sum _{i}m_{i}r_{i}^{2}$. Vettorialmente avremo:

${\vec {J}}=I{\vec {\omega }}$

A questo punto, possiamo scrivere la seconda legge cardinale in un altro modo, che stavolta descrive appieno la rotazione del sistema:

${\vec {\tau }}^{ext}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(I{\vec {\omega }}\right)=I{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}=I{\vec {\alpha }}$

Dove ${\vec {\alpha }}$ è l'accelerazione angolare del sistema.