Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di un razzo

Nel modulo precedente abbiamo introdotto i sistemi a massa variabile. Qui vogliamo discutere un esempio esemplare di tali sistemi, analizzando il moto di un razzo. Il fenomeno è semplice: il motore del razzo espelle il carburante a grande velocità, e, per la conservazione della quantità di moto, il razzo si muove nel verso opposto (si noti che non è il motore in sé che spinge il razzo). Vogliamo dare ora una descrizione quantitativa di questo fenomeno.

Fissiamo dunque un sistema di riferimento inerziale con verso positivo nel verso di moto (orizzontale) del razzo, che a un certo istante ha una massa $m$ e che si muove con velocità $v$. Se il razzo espelle una massa infinitesima $dm$ la velocità del razzo diventa $v+dv$, mentre $dm$ si muove con velocità in modulo $v^{*}$ rispetto a quest'ultimo e in senso opposto. Tenendo conto della formula per le velocità relative, la velocità di $dm$ rispetto a un sistema inerziale è pari a $v-v^{*}$. Assumendo che non ci siano forze esterne nella direzione orizzontale, la quantità di moto si conserva:

$mv=(m-dm)(v+dv)+dm(v-v^{*})$

da cui, trascurando il prodotto di quantità infinitesime,

$mdv=v^{*}dm$

cioè

$dv={\frac {dm}{m}}v^{*}$

Supponendo che la massa venga espulsa con un tasso costante possiamo scrivere:

$m(t)=m_{0}-kt$

con differenziale $dm=kdt$ positivo, perché abbiamo considerato $dm$ come valore assoluto della massa espulsa. Integrando

$\Delta v=\int _{v_{0}}^{v}dv=\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v^{*}k}{m_{0}-kt}}dt=-v^{*}\int _{t_{0}}^{t}{\frac {-k}{m_{0}-kt}}dt=v^{*}[\ln {m_{0}}-\ln {(m_{0}-kt)}]$

quindi la legge della velocità è:

$v(t)=v_{0}+v^{*}\ln {\frac {m_{0}}{m_{0}-kt}}$

Supponiamo ora che il razzo venga lanciato verticalmente. Lungo la direzione verticale agisce la forza di gravità, e la quantità di moto del razzo non si conserva. Trascurando la variazione di $g$ con la quota, se prima $dp=mdv-v^{*}dm=0$, ora

$dp=mdv-v^{*}dm=Fdt=-mgdt$

e

$dv=v^{*}{\frac {dm}{m}}-gdt$

Integrando

$\Delta v=\int _{t_{0}}^{t}{\frac {v^{*}k}{m_{0}-kt}}dt-\int _{t_{0}}^{t}gdt$

E la legge della velocità è:

$v(t)=v_{0}+v^{*}\ln {\frac {m_{0}}{m_{0}-kt}}-gt$

In caso di moto verticale il moto viene rallentato.