Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi a massa variabile

Finora abbiamo visto problemi relativi a punti materiali o sistemi di punti materiali di massa fissata, cioè costante nel tempo. La descrizione dinamica del moto per essi è determinata dall'equazione di Newton $\sum _{i=1}^{n}{\vec {F}}=m{\vec {a}}$, riscritta come ${\vec {R}}^{(e)}=M{\vec {a}}$ nel caso di più punti materiali. In realtà situazioni in cui la massa varia non sono rare, basti pensare a una scala mobile, o a un razzo che espelle carburante. Per analizzare questi tipi di moto dobbiamo ricordare che la forza è uguale alla derivata temporale della quantità di moto, però ora dobbiamo derivare anche la massa:

${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}+{\vec {v}}{\frac {dm}{dt}}$

Vediamo subito una situazione concreta. Supponiamo che su un nastro trasportatore di massa $m_{0}$ si muova con velocità orizzontale $v_{0}$. A un certo punto sul nastro vengono depositate verticalmente delle scatole, di modo che la massa totale aumenti linearmente nel tempo, con $k$ costante di proporzionalità. Nel caso non agisca nessuna forza esterna possiamo applicare la legge di conservazione della quantità di moto tra l'istante iniziale e un istante generico. Quindi

$m_{0}v_{0}=m(t)v(t)$

da cui

$v(t)={\frac {m_{0}v_{0}}{m_{0}+kt}}$

La velocità del nastro trasportatore quindi diminuisce nel tempo. Il punto interessante qui è che, seppur ci sia variazione di velocità, e quindi accelerazione, non c'è forza. Nei sistemi a massa variabile quindi sembra che la seconda legge della dinamica non sia più valida. Il dubbio si risolve subito pensando che la legge a cui dobbiamo far riferimento in generale è ${\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$, che si riduce ${\vec {F}}=m{\vec {a}}$ solo se la massa è costante, e questo è vero per i punti materiali.