Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di rotolamento

Il moto di rotolamento riguarda solo ed esclusivamente i corpi rigidi; un punto materiale, infatti, non ha dimensioni notevoli da poter essere considerato rotolante. Consideriamo un cilindro su un piano inclinato. Come premessa, diciamo che in assenza di attrito si ha un rotolamento perfetto, ovvero il corpo scivola sul piano senza ruotare attorno al suo centro di massa, che si muove con accelerazione costante:

$a_{CM}=g\sin \theta$

Per schematizzare bene una rotazione reale, immaginiamo che il cilindro non sia perfettamente liscio, bensì sia una ruota dentata: in ogni istante del moto il punto di appoggio rimane fisso . Questo particolare è importante, ed è proprio questa caratteristica a permettere il rotolamento. Chiamiamo $A$ il punto di appoggio al piano, $O$ il centro del corpo e $B$ il punto opposto a $A$; data $\omega$ velocità angolare di rotazione, avremo che:

${\begin{aligned}&v_{A}=0\\&v_{O}=\omega r\\&v_{B}=2\omega r\end{aligned}}$

Studiamo il moto del corpo e le forze agenti; supponiamo ci sia attrito sul piano inclinato, così da permettere il rotolamento. Le forze agenti saranno ${\vec {N}}$ reazione vincolare del piano, ${\vec {g}}$ forza peso e ${\vec {f}}_{att}$ la forza di attrito. Studiamo le condizioni affinché il corpo possa rotolare, sfruttando le due leggi cardinali.

${\begin{aligned}&{\vec {F}}^{tot}=m{\vec {a}}_{CM}\\&{\vec {\tau }}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}\end{aligned}}$

Come polo scegliamo il punto $A$: i contributi delle reazione vincolare e della forza di attrito al momento sono nulli. Avremo quindi:

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\wedge m{\vec {g}}\,\Rightarrow \tau _{y}=rmg\,\sin \theta \ \ \tau _{x}=\tau _{z}=0$

Applicando la seconda legge cardinale:

$rmg\,\sin \theta ={\frac {dJ}{dt}}={\frac {d(I_{A}\omega )}{dt}}=I_{A}\alpha =I_{A}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}$

Il momento di un cilindro ruotante attorno a un estremo è $I_{A}={\frac {3}{2}}MR^{2}$; possiamo calcolare l'accelerazione del centro di massa, che sarà diretta lungo il piano inclinato:

${\begin{aligned}&I_{A}\alpha =rmg\,\sin \theta \\&\alpha ={\frac {rmg\,\sin \theta }{I_{A}}}={\frac {2}{3}}{\frac {g\sin \theta }{r}}\\&a_{CM}=\alpha \,r={\frac {2}{3}}g\sin \theta \end{aligned}}$

Passiamo adesso alla prima legge cardinale:

$F=ma_{CM}\Rightarrow ma_{CM}=mg\sin \theta -f_{att}$

Lungo il piano, infatti, la reazione normale non ha componente; possiamo calcolare la forza di attrito, ovvero:

$f_{att}=mg\sin \theta -ma_{CM}=mg\sin \theta -{\frac {2}{3}}mg\sin \theta ={\frac {1}{3}}mg\sin \theta$

L'attrito, però, non è dinamico, ma è da considerarsi statico: il punto di appoggio è sempre fisso, quindi non vi è attrito dinamico; per questo motivo vale:

$f_{att}\leq \mu _{s}N=\mu _{s}\,mg\cos \theta$

Sostituendo nella formula l'espressione della forza d'attrito ricavata otteniamo:

$\mu _{s}\,mg\cos \theta \geq {\frac {1}{3}}mg\sin \theta \,\Rightarrow \,\mu _{s}\geq {\frac {1}{3}}\tan \theta$

Questa è la condizione affinché vi sia rotolamento senza che il corpo scivoli sul piano. Ovviamente, se avessimo preso come sistema di riferimento il centro di massa e non un sistema esterno, avremmo notato che, dal quel punto di vista, il cilindro ruotava semplicemente attorno al suo centro.