Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistemi di forze parallele

Un sistema di forze parallele è un insieme di forze che si applicano tutte lungo la stessa direzione in ogni punto di un sistema di punti materiali.

Preso un sistema di riferimento inerziale centrato in $\Omega$ esterno al sistema di punto, calcoliamo il momento delle forze esterne ${\vec {\tau }}$ rispetto a questo punto. Poiché tutte le forze sono dirette lungo una stessa direzione che indichiamo con ${\hat {u}}$ possiamo scrivere ogni forza come ${\vec {f_{i}}}=f_{i}{\hat {u}}$. Inoltre vale $\sum _{i}m_{i}=M$.

Il momento delle forze sarà uguale a:

${\vec {\tau }}=\sum _{i}{\vec {r_{i}}}\wedge {\vec {f_{i}}}=\sum _{i}{\vec {r_{i}}}\wedge f_{i}{\hat {u}}=\left(\sum _{i}f_{i}{\vec {r_{i}}}\right)\wedge {\hat {u}}$

Il fattore $\sum _{i}f_{i}{\vec {r_{i}}}$ corrisponde a $\sum _{i}f_{i}{\vec {r_{c}}}$, dove ${\vec {r_{c}}}$ non è il centro di massa, bensì il centro di applicazione della forza così definito:

Definizione

In un sistema di forze parallele, esse possono considerarsi come applicate a un unico punto, chiamato centro di applicazione della forza, che vale:

${\vec {r_{c}}}={\frac {\sum _{i}f_{i}{\vec {r_{i}}}}{\sum _{i}f_{i}}}$

Tornando al calcolo del momento delle forze:

${\begin{aligned}&{\vec {\tau }}=\left(\sum _{i}f_{i}{\vec {r_{i}}}\right)\wedge {\hat {u}}=\left(\sum _{i}f_{i}\right){\vec {r_{c}}}\wedge {\hat {u}}={\vec {r_{c}}}\wedge \sum _{i}f_{i}{\hat {u}}\\\Rightarrow &{\vec {\tau _{\Omega }}}={\vec {r}}_{c}\wedge {\vec {F}}\end{aligned}}$

Dove con ${\vec {F}}=\sum _{i}f_{i}{\hat {u}}$. Il caso particolare di notevole interesse è la forza peso, infatti, applicando la definizione di centro di applicazione di una forza, possiamo notare che esso coincide col centro di massa del corpo. Infatti:

${\vec {r}}_{c}={\frac {\sum _{i}{\vec {r}}_{i}\wedge m_{i}{\vec {g}}}{\sum _{i}m_{i}{\vec {g}}}}={\frac {\sum _{i}m_{i}{\vec {r}}_{i}}{\sum _{i}m_{i}}}={\vec {r}}_{CM}$

Quando, quindi, si considera la forza peso come tutta applicata al centro di massa di un sistema o corpo rigido non si sta compiendo alcuna approssimazione: essa è veramente applicata al baricentro del corpo.