Algebra lineare e geometria analitica/Applicazioni lineari

Definizione

Siano $V$ e $W$ $\mathbb {K}$-spazi vettoriali. Definiamo gli omomorfismi tra gli spazi vettoriali che prendono il nome di applicazioni lineari.

Definizione: Applicazione lineare

Si dice applicazione lineare da $V$ a $W$ un omomorfismo tra i due spazi vettoriali, cioè una funzione che gode delle seguenti proprietà:

• $f(v+v^{\prime })=f(v)+f(v^{\prime }),\forall v,v^{\prime }\in V$
• $f(v)=\lambda f(v),\forall v\in V,\forall \lambda \in \mathbb {K}$

Definizione: Applicazione lineare

Nucleo ed immagine

• Nucleo: denotato con Ker f = insieme di vettori che l'applicazione lineare riduce al vettore nullo.
• Immagine: Un vettore k' è nell'immagine se esiste un k tale che f(k) = k'.

Teoremi

• data f: V -> W, si ha: dim Ker f + dim Im f = dim V
• rango: rango = dim Im f; etc...
• se f è iniettiva allora trasforma basi in basi
• se il Ker f = {O} allora f è iniettiva.