Meccanica razionale/Cinematica/Punto

Il moto di P è noto rispetto alla terna $O_{xyz}$ tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:

$\left\{{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{matrix}}\right.$

In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica

${\vec {OP}}={\vec {OP}}(t)$

Consideriamo il caso che il punto P si muova su di una traettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le

$\left\{{\begin{matrix}x=x(s)\\y=y(s)\\z=z(s)\end{matrix}}\right.$

e la legge oraria

$\ S=S(t)$

Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di 'P' lungo la 'l', cioè in qual maniera nel tempo 'P' percorre gli spazi sulla 'l'.

Velocità scalare

Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:

${ds \over dt}={\dot {s}}(t)$

Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traettoria definita dalle (1) quando:

${\dot {s}}(t)=cost$

Velocità vettoriale

Supponendo che la traiettorie di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curva nel punto P mediante le seguenti formule:

$\left\{{\begin{matrix}T_{x}={\frac {dx \over ds}{\sqrt {({dx \over ds})^{2}+({dy \over ds})^{2}+({dz \over ds})^{2}}}}={dx \over ds}\\T_{y}={dy \over ds}\\T_{z}={dz \over ds}\end{matrix}}\right.$

Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:

${\vec {T}}={\vec {i}}T_{x}+{\vec {j}}T_{y}+{\vec {z}}T_{z}$

Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità

${\vec {v}}={\dot {s}}(t)\cdot {\vec {T}}$

che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).

Accelerazione

Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:

${\bar {\mathbf {a} }}={d \over dt}{\bar {\mathbf {v} (t)}}={d \over dt}({\dot {s}}{\bar {\mathbf {T} }})$

Eseguendo la derivazione abbiamo:

${\bar {\mathbf {a} }}={\ddot {s}}{\bar {\mathbf {T} }}+{\dot {s}}{d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}$

e ricordando che:

${\bar {\mathbf {T} }}={d \over ds}x(s){\hat {\mathbf {i} }}+{d \over ds}y(s){\hat {\mathbf {j} }}+{d \over ds}z(s){\hat {\mathbf {k} }}$

e derivando rispetto a t:

${d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}={\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s){d \over dt}s(t)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s){d \over dt}s(t)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s){d \over dt}s(t)$

${d \over dt}{\bar {\mathbf {T} }}={\dot {s}}({\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s))$

Il vettore

${\hat {\mathbf {i} }}{d^{2} \over ds^{2}}x(s)+{\hat {\mathbf {j} }}{d^{2} \over ds^{2}}y(s)+{\hat {\mathbf {k} }}{d^{2} \over ds^{2}}z(s)$

è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:

${\frac {1}{\rho }}={\sqrt {\left({d^{2} \over ds^{2}}x(s)\right)^{2}+\left({d^{2} \over ds^{2}}y(s)\right)^{2}+\left({d^{2} \over ds^{2}}z(s)\right)^{2}}}$

che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:

${\vec {a}}={\ddot {s}}{\vec {T}}+{\frac {{\dot {s}}^{2}}{\rho }}{\vec {N}}$

Il termine ${\ddot {s}}{\vec {T}}$ è l'accelerazione tengenziale, mentre il termine ${\frac {{\dot {s}}^{2}}{\rho }}{\vec {N}}$ è l'accelerazione normale o centripeta in quanto diretta sempre secondo la normale principale alla curva traiettoria sul punto considerato.

Si chiama moto uniforme quello per cui ${\dot {s}}(t)=cost.$ e quindi ${\ddot {s}}(t)=0$, e di conseguenza l'unica accelerazione presente è quella normale.

I moti rettilinei uniformi sono quelli caratterizzati da

${\ddot {s}}=0$ $\ \rho =inf$

per cui ${\vec {a}}=0$.

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