Meccanica razionale/Cinematica/Punto

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Meccanica razionale

Sommario
Categoria · Copertina · Sviluppo · modifica il template

Copertina

Richiami di calcolo vettoriale
Cinematica
1. Cinematica del punto
2. Cinematica dei sistemi rigidi
3. Cinematica del punto nel moto relativo
Statica
Dinamica del punto materiale e dei sistemi dei punti materiali
Dinamica dei sistemi rigidi
Appendice (cap 1°)
1. Appendice (cap 1°)

Il moto di P è noto rispetto alla terna $O x y z$ tutte le volte che sono date le sue coordinate x,y,z, come funzioni dell'ascissa temporale t:

$\left\{\begin{matrix}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{matrix}\right.$

In forma vettoriale potremo dire che le precedenti equazioni si possono riassumere nell'unica

$\vec{OP}=\vec{OP}(t)$

Consideriamo il caso che il punto P si muova su di una traettoria assegnata l, e scelto un sistema di ascissa curvilinea s, diremo che il moto del punto dal punto P è completamente definito quando diamo le

$\left\{\begin{matrix}x=x(s)\\y=y(s)\\z=z(s)\end{matrix}\right.$

e la legge oraria

$\ S=S(t)$

Il sistema (2) e (3) è completamente equivalente alle (1). Le equazioni (2) dipendono esclusivamente da come è fatta la traiettoria, mentre la (3) esprime unicamente la legge oraria di 'P' lungo la 'l', cioè in qual maniera nel tempo 'P' percorre gli spazi sulla 'l'.

[modifica] Velocità scalare

Se è nota la legge oraria s=s(t) si definisce come velocità scalare la derivata:

${ds\over dt}=\dot{s}(t)$

Si dice che il moto di P è uniforme lungo la traettoria definita dalle (1) quando:

$\dot{s}(t)=cost$

[modifica] Velocità vettoriale

Supponendo che la traiettorie di P sia data mediante le equazioni (2) e (3), sono noti i coseni direttori della tangente alla curva nel punto P mediante le seguenti formule:

$\left\{\begin{matrix}T_x=\frac{{dx\over ds}}{\sqrt {({dx\over ds})^2+({dy\over ds})^2+({dz\over ds})^2}}={dx\over ds}\\T_y={dy\over ds}\\T_z={dz\over ds}\end{matrix}\right.$

Definiamo quindi il vettore unitario della tangente il vettore:

$\vec{T}=\vec{i} T_x+\vec{j} T_y+\vec{z} T_z$

Si chiama quindi velocità vettoriale la quantità

$\vec{v}=\dot{s}(t) \cdot\vec{T}$

che deriva direttamente dalla derivazione rispetto al tempo delle (2), tenendo conto della (4).

[modifica] Accelerazione

Si definisce per accelerazione del punto P la derivata rispetto al tempo della velocità vettoriale:

$\bar{\mathbf{a}}={d\over dt}\bar{\mathbf{v}(t)}={d\over dt}(\dot{s}\bar{\mathbf{T}})$

Eseguendo la derivazione abbiamo:

$\bar{\mathbf{a}}=\ddot{s}\bar{\mathbf{T}}+\dot{s} {d\over dt}\bar{\mathbf{T}}$

e ricordando che:

{:::: $\bar{\mathbf{T}}={d\over ds}x(s)i+{d\over ds}y(s)j+{d\over ds}z(s)k$

e derivando rispetto a t:

${d\over dt}\bar{\mathbf{T}}=i{d^2\over ds^2}x(s){d\over dt}s(t)+j{d^2\over ds^2}y(s){d\over dt}s(t)+k{d^2\over ds^2}z(s){d\over dt}s(t)$

${d\over dt}\bar{\mathbf{T}}=\dot{s}(i{d^2\over ds^2}x(s)+j{d^2\over ds^2}y(s)+k{d^2\over ds^2}z(s))$

Il vettore

$i{d^2\over ds^2}x(s)+j{d^2\over ds^2}y(s)+k{d^2\over ds^2}z(s)$

è un vettore che ha per coseni direttori quelli della normale principale alla curva nel punto P e modulo:

$\frac{1}{\rho}=\sqrt{\left({d^2\over ds^2}x(s)\right)^2+\left({d^2\over ds^2}y(s)\right)^2+\left({d^2\over ds^2}z(s)\right)^2}$

che è, come noto, la curvatura della curva nel punto P. Per cui in definitiva si ottiene per l'accelerazione vettoriale:

$\vec{a}=\ddot{s}\vec{T}+\frac{\dot{s}^2}{\rho}\vec{N}$

Il termine $\ddot{s}\vec{T}$ è l'accelerazione tengenziale, mentre il termine $\frac{\dot{s}^2}{\rho}\vec{N}$ è l'accelerazione normale o centripeta in quanto diretta sempre secondo la normale principale alla curva traiettoria sul punto considerato.

Si chiama moto uniforme quello per cui $\dot{s}(t)=cost.$ e quindi $\ddot{s}(t)=0$ , e di conseguenza l'unica accelerazione presente è quella normale.