Meccanica razionale/Dinamica/Sistemi di punti

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[modifica] equazioni del moto per un sistema di punti e teorema del baricentro

Se consideriamo un sistema S di punti materiali, e sia mi la massa e \vec{v_{i}} la velocità del generico punto mi, l'equazione del moto per questo punto può esere scritta:

(6)
{d\over dt}(m_{i}\vec{v_{i}})=\vec{F_{e}}+\vec{F_{i}}

Essendo \vec{F_{e}} la forza esterna applicata a questo punto mentre \vec{F_{i}} è il risultante di tutte le azioni che i punti circostanti esercitano sul punto considerato. Se scriviamo la precedente equazione per tutti i vari punti avremo n equazioni vettoriali che sommate si riducono alla unica

(7)
{d\over dt}(\sum{m_{i}}\vec{v_{i}})=\sum{\vec{F_{e}}}+\sum{\vec{F_{i}}}

Questa equazione proiettata in tre assi dà le seguenti tre equazioni scalari:

(8)
{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{x_{i}})=\sum{X_{i}}+\sum{X_{e}}
{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{y_{i}})=\sum{Y_{i}}+\sum{Y_{e}}
{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{Z_{i}})=\sum{Z_{i}}+\sum{Z_{e}}

Ma il risultante delle forze interne per il principio di azione e reazione è un sistema nullo, cioè \sum{X_{i}}=\sum{y_{i}}=\sum{Z_{i}}=0, in quanto le forze interne a due a due costituiscono dei sistemi nulli.

Allora le equazioni (8) divengono:

{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{x_{i}})=\sum{X_{e}}
{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{y_{i}})=\sum{Y_{e}}
{d\over dt}(\sum{m_{i}}\dot{z_{i}})=\sum{Z_{e}}

Ricordando la definizione di baricentro di un sistema di masse cioè come quel punto G tale che le sue coordinate sono date dalle seguenti espressioni:

x_{G}=\frac{\sum{m_{i}x_{i}}}{\sum{m_{i}}}
y_{G}=\frac{\sum{m_{i}y_{i}}}{\sum{m_{i}}}
z_{G}=\frac{\sum{m_{i}}z_{i}}{\sum{m_{i}}}

e considerando \ m_{i}=cost

(\sum_{}m_{i})\dot{x_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{x_{i}}
(\sum_{}m_{i})\dot{y_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{y_{i}}
(\sum_{}m_{i})\dot{z_{G}}=\sum_{}m_{i}\dot{z_{i}}

E tenendo conto che la massa totale del sistema è data da M=\sum{}m_{i} si ottengono le tre seguenti equazioni

{d\over dt}(M\dot{x_{G}})=\sum_{}X_{e}
{d\over dt}(M\dot{y_{G}})=\sum_{}Y_{e}
{d\over dt}(M\dot{z_{G}})=\sum_{}Z_{e}

da cui deriva il teorema fondamentale del baricentro. Cioè che il baricentro del sistema si muove come un punto materiale avente la massa totale \ M del sistema e su cui agisce una forza eguale alla somma vettoriale delle forze agenti su tutti i vari punti di massa.

Concludendo possiamo dire che se \ Q è la quantità di moto totale del sistema dato da

\vec{Q}=\sum_{i=1}^n m_{i}v_{i}

il teorema della quantità di moto si esprime dicendo che il derivato delle quantità di moto è uguale al risultante delle sole forze esterne applicate al sistema, cioè

{d\vec{Q}\over dt}=\vec{R_{e}}

[modifica] Momento delle quantità di moto

Consideriamo un punto 'C' ed un punto materiale Pi a cui compete il vettore quantità di moto m_{i}\vec{v_{i}}. Il momento di m_{i}\vec{v_{i}} è per definizione il vettore:

\vec{H_{i}}=\vec{CP_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}

Il momento risultante rispetto a 'C' è dato da:

\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{(\vec{CP_{i}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}})

eseguiamo il derivato:

{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum_{}({d\over dt}\vec{CP_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}})+\sum(\vec{CP_{i}}\wedge {d\over dt} m_{i}\vec{v_{i}})

Tenendo conto della relazione:

\vec{CP_{i}}=\vec{OP_{i}}-\vec{OC}

e derivando si ottiene:

{d\over dt}\vec{OP_{i}}={d\over dt}\vec{OP_{i}}-{d\over dt}\vec{OC}=\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}}

che sostituite nell'espressione del momento della quantità di moto dà:

{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{(\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}})}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}+\sum{\vec{CP_{i}}}\wedge{d\over dt}(m_{i}\vec{v_{i}})

ma osservando che:

\sum(\vec{v_{i}}-\vec{v_{c}})=\sum{v_{i}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}-\sum{\vec{v_{c}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}

e che il termine vettoriale:

\sum{\vec{v_{i}}}\wedge m_{i}\vec{v_{i}}=0

e che per il teorema del baricentro:

\sum{m_{i}\vec{v_{i}}}=M\vec{v_{G}}

otteniamo in definitiva:

{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\sum{\vec{CP_{i}}}\wedge\vec{F_{e}}-\vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}}

E tenendo presente che \sum{\vec{CP_{i}}}\wedge\vec{F_{e}} è il momento delle forze esterne rispetto a 'C', possiamo scrivere:

{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\vec{M_{e}}-\vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}}

È da notare che il termine \vec{v_{c}}\wedge M\vec{v_{G}} è zero solo se 'C' è fermo o è il baricentro, allora solo in questo caso possiamo scrivere semplicemente:

{d\over dt}\sum{\vec{H_{i}}}=\vec{M_{e}}

Concludendo che il vettore derivato del momento della quantità di moto è uguale al momento delle forze esterne rispetto al punto fisso o rispetto al baricentro.

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