Meccanica razionale/Appendice (cap 1°)

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[modifica] Appendice (cap 1°)

In aggiunta a quanto stato detto nel Capitolo 1°, vogliamo rocordare alcuni teoremi fondamentali relativi all'integrazione dei campi vettoriali:

[modifica] Teorema di Gauss

Se \ \vec{\mathbf{F}}(x,y,z) è unh campo vettorialecontinuo fino almeno alla derivata prima e se \ S è una superficie chiusa vale il seguente teorea:

\iint_S \vec{\mathbf{F}}\times\vec{\mathbf{n}}\ ds=\iiint_V div\vec{\mathbf{F}}\ dv

Essendo n il versore della normale alla superficie nel punto \ x,\ y,\ z, mentre

\ div\vec{\mathbf{F}}={\delta F_x\over \delta x}+{\delta F_y\over\delta y}+{\delta F_z\over\delta z}

come già è stato esposto nel Capitolo 1°.

Cioè il flusso del vettore \ \vec{\mathbf{F}} è uguale all'integrale della divergenza al volume racchiuso in S.

[modifica] Teorema di Stokes

Nelle ipotesi del paragrafo 1 si dimostra che se \ l è una linea chiusa nello soazio e \ S una superficie chiusa comunque abbracciata da \ l possiamo dire che:

\iint_S rot\vec{\mathbf{F}}\times\vec{\mathbf{n}}\ dS=\oint_l\vec{\mathbf{F}}\times d\vec{\mathbf{l}}

L'integrale \oint_l\vec{\mathbf{F}}\times d\vec{\mathbf{l}}=\oint_l (F_x dx+F_y dy+F_z dz) si chiama circolazione del vettore \vec{\mathbf{F}}: nel caso che \vec{\mathbf{F}} è una forza la circolazione coincide con il lavoro della forza esteso alla linea chiusa.

[modifica] Teorema di Green

Nelle ipotesi già scritte il teorema di Green stabilisce che se \ U=U(x,\ y,\ z) e \ V=V(x,\ y,\ z) sono due funzioni scalari l'integrale:

\iint_S \vec{\mathbf{n}}\times U\vec{\mathbf{grad}}V=\iiint U div\ \vec{\mathbf{grad}}V+\iiint \vec{\mathbf{grad}} U\times\vec{\mathbf{grad}}V\ dv

e ricordando dal capitolo 1° che:

\vec{\mathbf{grad}} V=\nabla V
\vec{\mathbf{grad}} U=\nabla U
\ div\vec{\mathbf{grad}} V=\nabla^2 V={\delta^2 V\over\delta x^2}+{\delta^2 V\over\delta y^2}+{\delta^2 V\over\delta z^2}

Il teorema di Green si può scrivere in forma simbolica:

\iint_S \vec{\mathbf{u}}\times U\cdot\nabla V=\iiint_V U\nabla^2 V\ dv+\iiint_V\nabla U\times\nabla V\ dv
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