Meccanica razionale/Cinematica/Sistemi rigidi

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Meccanica razionale

Sommario
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Copertina

Richiami di calcolo vettoriale
Cinematica
1. Cinematica del punto
2. Cinematica dei sistemi rigidi
3. Cinematica del punto nel moto relativo
Statica
Dinamica del punto materiale e dei sistemi dei punti materiali
Dinamica dei sistemi rigidi
Appendice (cap 1°)
1. Appendice (cap 1°)

Si dice, che il moto di di S è un moto rigido quando risulta indipendente, dal tempo t, ciascuna delle distanze mutue dei punti di S, presi a due a due in tutti i modi possibili.

Indice

1 Moto di traslazione
2 Moto rotatorio
3 Definizione di velocità angolare
4 Velocità angolare vettoriale
5 Moto elicoidale
6 Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidi
7 Accelerazione di un punto di un corpo rigido
8 Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi
9 Velocità

[modifica] Moto di traslazione

Chiameremo con $S 1$ e $S 2$ due diverse posizioni di uno stesso sistema rigido nello spazio; esse sono due figure congruenti e la loro sovrapposizione avverrà quando tre punti della $S 1$ , non giacenti in una medesima retta verranno a coincidere coi loro corrispondenti della $S 2$ .

Se $A 1$ e $A 2$ sono due punti corrispondenti , il vettore $\bar{\mathbf{{A_{1}}{A_{2}}}}$ dicesi lo spostamento del punto $A 1$ . Se:

$\bar{\mathbf{{A_{1}}{A_{2}}}}=\bar{\mathbf{{B_{1}}{B_{2}}}}=.....=\bar{\mathbf{{N_{1}}{N_{2}}}}=\bar{\mathbf{a}}$

cioè se tutti i vettori spostamenti dei vari punti sono uguali, si dice allora che la posizione $S 2$ è dedotta da $S 1$ mediante una traslazione semplice di vettore $\vec{a}$ .Se questa proprietà vale per tutte le posizioni intermedie fra $S 1$ $S 2$ , vicine quanto si vuole, il moto si chiama allora di traslazione semplice continua. In tal caso se A e B sono due punti di $S 1$ ed A' e B' sono i loro corrispondenti in una qualunque posizione intermedia fra $S 1$ e $S 2$ , poiché

$\vec{AA'}=\vec{BB'}$

e poiché A e B possono assumersi vicini quanto si vuole, si conclude che la velocità di A è eguale a quella di B istante per istante. Cioè tutti i punti di $S 1$ descrivono curve parallele ed hanno in ogni istante la stessa velocità. Se la velocità è costante nel tempo si ha una traslazione rettilinea uniforme.

[modifica] Moto rotatorio

Supponiamo ora che le due figure componenti $S 1$ e $S 2$ abbiano in comune due punti e quindi tutti i punti comuni della congiungente che diremo asse.

Consideriamo ore un punto $P 1$ di $S 1$ non appartenente all'asse, e sia $P 2$ il suo corrispondente in $S 2$ . Mandiamo dal punto $P 1$ la normale O $P 1$ all'asse, e conduciamo anche la O $P 2$ , la O $P 2$ risulterà, essendo $P 2$ corrispondente di $P 1$ , normale all'asse ed $O S 2 = O S 1$ .

Allora facendo descrivere a $P 1$ l'arco di cerchio $P 1 P 2$ , la figura $S 1$ si sovrapporrà ad $S 2$ , in quanto hanno tre punti comuni non allineati, mediante un movimento che si chiamerà di rotazione semplice. L'angolo θ di cui ha ruotato il piano $α 1$ formato da $P 1$ e l'asse, per andare a coincidere con il piano $α 2$ formato da $P 2$ e l'asse, chiamasi ampiezza della rotazione.

[modifica] Definizione di velocità angolare

Preso un piano di riferimento fisso passante per l'asse di rotazione, e se $θ$ è l'angolo che un piano mobile, passante per l'asse, forma con questo piano fisso, si definisce velocità angolare scalare il termine:

$\dot{\theta}={d\over dt} \theta(t)=\omega$

Nel caso che

${d^2\over dt^2}\theta(t)=\ddot{\theta}=0$

si dice che il moto è di rotazione uniforme.

[modifica] Velocità angolare vettoriale

Si chiama vettore velocità angolare, il vettore $\vec{\Omega}$ che ha per modulo $ω$ , direzione parallela all'asse di rotazione e verso positivo quello anti orario.

Velocità di un punto P in un moto rotatorio.

Se O è un punto qualsiasi dell'asse e P è il punto di cui si vuol conoscere la velocità, questa è data:

$\vec{v_{p}}= \vec{\Omega}\wedge\vec{OP}$

[modifica] Moto elicoidale

Il moto rigido costituito da una rotazione del corpo con velocità $\vec{\Omega}$ intorno ad un asse, e da una traslazione lungo questo asse di ampiezza $\vec{a}$ , si chiama moto rigido elicoidale. Le traiettorie dei vari punti S sono tutte eliche dello stesso passo. Questo è il moto che in genere descrive una vite.

[modifica] Formule fondamentali di Cinematica dei corpi rigidi

Se P e O sono due punti qualunque di un sistema rigido in movimento, e chiamiamo con $\vec{v_{p}}$ e $\vec{v_{0}}$ le loro velocità ad un certo istante t. Si dimostra che:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{OP}$

Preso in O un sistema di riferimento solidale con S, Oxyz, e scelto un sistema fisso di riferimento $\boldsymbol{\xi}$ , $\boldsymbol{\eta},$ , $\boldsymbol{\zeta}$ , e se $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ sono i vettori unitari degli assi mobili x, y, z del corpo rigido abbiamo che

$\vec{OP}=x \vec{i}+y \vec{j}+z \vec{k}$

Per cui la velocità di P, $\vec{ v_{p}}$ , è uguale a ${d\over dt}\vec{O_{1}P}$ , mentre quella di O, $\vec{ v_{0}}$ , è data da ${d\over dt}\vec{O_{1}O}$ . Posto ciò abbiamo che:

${d\over dt}\vec{OP}={d\over dt}\vec{O_{1}P}-{d\over dt}\vec{O_{1}O}=\vec{v_p}-\vec{v_0}$

Se deriviamo la (7) rispetto al tempo otteniamo di conseguenza:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}+x{d\over dt}\vec{i}+y{d\over dt}\vec{j}+z{d\over dt}\vec{k}$

Essendo P un punto collegato rigidamente al corpo abbiamo che $\dot{x}=\dot{y}=\dot{z}=0$ . La (8) si riduce allora a:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+x{d\over dt}\vec{i}+y{d\over dt}\vec{j}+z{d\over dt}\vec{k}$

Vogliamo ora dimostrare che:

$\left\{\begin{matrix}{d\over dt}\vec{i}=\vec\Omega\wedge\vec{i}\\{d\over dt}\vec{j}=\vec\Omega\wedge\vec{j}\\{d\over dt}\vec{k}=\vec\Omega\wedge\vec{k}\end{matrix}\right.$

Per dimostrare ciò ricordiamo ora alcune proprietà dei vettori unitari:

prodotto vettoriale	prodotto scalare
$\vec{i}\wedge\vec{i}=\vec{j}\wedge\vec{j}=\vec{k}\wedge\vec{k}=0$	$\vec{i}\times\vec{i}=\vec{j}\times\vec{j}=\vec{k}\times\vec{k}=1$
$\vec{i}\wedge\vec{j}=-\vec{j}\wedge\vec{i}=\vec{k}$	$\vec{i}\times\vec{j}=0$
$\vec{j}\wedge\vec{k}=-\vec{k}\wedge\vec{j}=\vec{i}$	$\vec{j}\times\vec{k}=0$

Inoltre possiamo scrivere:

${d\over dt}(\vec{i}\times\vec{i})=\vec{i}\times{d\vec{i}\over dt}+{d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=2({d\vec{i}\over dt}\times\vec{i})=0$

${d\over dt}(\vec{i}\times\vec{j})={d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}+\vec{i}\times{d\vec{j}\over dt}=0$

${d\over dt}(\vec{j}\times\vec{k})={d\vec{j}\over dt}\times\vec{k}+\vec{j}\times{d\vec{k}\over dt}=0$

${d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=0$
${d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}=-\vec{i}\times{d\vec{j}\over dt}$
${d\vec{j}\over dt}\times\vec{k}=-\vec{j}\times{d\vec{k}\over dt}$

Il vettore ${d\vec{i}\over dt}$ potrà essere espresso in generale come:

${d\vec{i}\over dt}=a\vec{i}+b\vec{j}+c\vec{k}$

Se moltiplichiamo scalarmente la (14) rispettivamente per $\vec{i}$ , $\vec{j}$ , $\vec{k}$ otteniamo:

${d\vec{i}\over dt}\times\vec{i}=a\vec{i}\times\vec{i}+b\vec{j}\times\vec{i}+c\vec{k}\times\vec{i}=a=0$

${d\vec{i}\over dt}\times\vec{j}=a\vec{i}\times\vec{j}+b\vec{j}\times\vec{j}+c\vec{k}\times\vec{j}=b$

${d\vec{i}\over dt}\times\vec{k}=a\vec{i}\times\vec{k}+b\vec{j}\times\vec{k}+c\vec{k}\times\vec{k}=c$

Si ottiene

${d\vec{i}\over dt}=({d\vec{i}\over dt}\times\vec{j})\cdot\vec{j}+({d\vec{i}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{k}$

$=({d\vec{j}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{i}\wedge\vec{i}+({d\vec{k}\over dt}\times\vec{i})\cdot\vec{j}\wedge\vec{i}+({d\vec{i}\over dt}\times{j})\cdot\vec{k}\wedge{i}$ .

E se definiamo:

$\vec{\Omega}=({d\vec{j}\over dt}\times\vec{k})\cdot\vec{i}+({d\vec{k}\over dt}\times\vec{i})\cdot\vec{j}+({d\vec{i}\over dt}\times\vec{j})\cdot\vec{k}$

otteniamo le (10):

${d\vec{i}\over dt}=\vec{\Omega}\wedge\vec{i}$ ed analoghe.

[modifica] Accelerazione di un punto di un corpo rigido

Abbiamo precedentemente visto che la velocità di un punto P appartenente ad un corpo rigido è data da:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}$

Essendo 0 la velocità di un punto del corpo rigido assunto come origine degli assi mobili ed $\vec{\Omega}$ il vettore velocità angolare del corpo rigido. Ovviamente per ottenere l'accelerazione di P bisogna derivare vettorialmente la (13) rispetto al tempo:

${d\over dt}\vec{v_{p}}={d\over dt}\vec{v_{0}}+\vec{\Omega}\wedge{d\over dt}\vec{(OP)}+{d\over dt}\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}$

Cioè:

$\vec{a_{p}}=\vec{a_{0}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}+{d\over dt}\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}$

In quanto per le (13) si ha:

${d\over dt}\vec{(OP)}= \vec{v_{p}}-\vec{V_{0}}= \vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)}$

E ricordando le formule del prodotto vettoriale doppio si ottiene:

$\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{(OP)})=(\vec{\Omega}\times\vec{(OP)})\cdot\vec{\Omega}-(\vec{\Omega}\times\vec{\Omega})\cdot\vec{(OP)}$

Le espresioni cartesiane delle componenti di $\vec{a_{p}}$ rispetto agli assi mobili x, y, z sono date da:

$\ddot{x}=\dot{u_{0}}+(px+qy+rz)p-(p^2+q^2+r^2)x+(\dot{q}z-\dot{z}y)$

$\ddot{y}=\dot{v_{0}}+(px+qy+rz)q-(p^2+q^2+r^2)y+(\dot{z}x-\dot{p}z)$

$\ddot{z}=\dot{w_{o}}+(px+qy+rz)r-(p^2+q^2+r^2)z+(\dot{p}y-\dot{q}x)$

Essendo $\ p,\ q,\ r$ le componenti di $\vec{\Omega}$ rispetto agli assi mobili $\ x,\ y,\ z$ e $\ u_{o},\ v_{o},\ w_{o}$ le componenti di $\vec{v_{o}}$ in definitiva avremo

$\ddot{x}=\dot{u_{o}}-(q^2+r^2)x+(qy-rz)p+(\dot{q}z-\dot{z}y)$

$\ddot{y}=\dot{v_{o}}-(p^2+r^2)y+(px-rz)q+(\dot{r}x-\dot{p}z)$

$\ddot{z}=\dot{w_{o}}-(p^2+q^2)z+(px+qy)r+(\dot{p}y-\dot{q}x)$

[modifica] Formule riassuntive di Cinematica dei moti rigidi

...

[modifica] Velocità

Se P è un punto di un corpo rigido e se x,y e z sono le coordinate di questo punto rispetto agli assi O x y z solidali con il corpo, le componenti della velocità assoluta di P sugli assi mobili $x m$ $y m$ $z m$ sono date proiettando la formula fondamentale:

$\vec{v_{p}}=\vec{v_{o}}\wedge(\vec{OP)}$

sugli assi $\ x,\ y,\ z$ .

Chiamando con $\ u_{o},\ v_{o},\ w_{o}$ le componenti della velocità assoluta di $\ O$ (traslazione) in tre assi $\ x,\ y,\ z$ (mobili), e con $\ p,\ q,\ r$ le componenti del vettore velocità angolare $\vec{\Omega}$ in tre assi mobili otteniamo: