Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Energia cinetica

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[modifica] Energia cinetica di un corpo rigido

Se abbiamo un corpo rigido la velocità di ogni suo singolo punto è data, rispetto ad una terna di riferimento generico solidale con il corpo, dalla nota formula(6)

\vec{v_{p}}=\vec{v_{o}}+\vec{\Omega}\wedge \vec{OP}

Se prendiamo la terna di riferimento con origine nel baricentro (terna centrale) 'G', abbiamo:

\vec{v_{p}}=\vec{v_{G}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{GP}

L'energia cinetica che compete quindi alla massa 'dm' con centro nel punto 'P' è data secondo la definizione da:

dT=\frac{dm}{2}(\vec{v_{G}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{GP})^2

Ora possiamo anche scrivere:

\vec{v_{p}}-\vec{v_{G}}=\vec{\Omega}\wedge\vec{GP}

cioè

dT=\frac{dm}{2}[\vec{v_{G}}+(\vec{v_{p}}-\vec{v_{G}})]^2=\frac{dm}{2}[\vec{v_{G}} ^2+(\vec{v_{p}}-\vec{v_{G}})^2+2\vec{v_{G}}\times(\vec{v_{p}}-\vec{v_{G}})]

ed ancora

dT=\frac{dm}{2}v_{G}^2+\frac{dm}{2}(\vec{v_{p}}-\vec{v_{G}})^2-\vec{v_{G}}\times(\vec{v_{p}}dm-\vec{v_{G}}dm)

ed integrando

T=\frac{v_{G}^2}{2}\int_{V}^.dm+\frac{1}{2}\int_{V}^.(\vec{v_{p}}-\vec{v_{G}})^2-\vec{v_{G}}\times(\int_{V}^.\vec{v_{p}}dm-\vec{v_{G}}\int_{V}^.dm)

avremo quindi in definitiva:

T=\frac{1}{2}M {v_{G}}^2+\frac{1}{2}\int_{V}^.(\vec{\Omega}\wedge\vec{GP})^2 dm

in quanto per definizione di quantità di moto totale di un sistema

\int_{V}^.\vec{v_{p}}dm-\int_{V}^.\vec{v_{G}}dm=M\vec{v_{G}}-M\vec{v_{G}}=0

Considerando che :

\vec{\Omega}\wedge\vec{GP}=(qz-ry)\vec{i}+(rx-pz)\vec{j}+(py-qx)\vec{k}

abbiamo di conseguenza:

(\vec{\Omega}\wedge\vec{GP})^2=(\vec{v_{p}}-\vec{v_{G}})^2=(qz-ry)^2+(rx-pz)^2+(py-qx)^2=
\ (z^2+x^2)q^2+(z^2+y^2)p^2+(x^2+y^2)r^2-2qrzy-2rpxz-2pqxy.

E quindi eseguendo l'integrale abbiamo:

\frac{1}{2}[q^2\int_{V}^.(z^2+x^2)\rho dv+p^2\int_{V}^.(z^2+y^2)\rho dv+r^2\int_{V}^.(x^2+y^2)\rho dv-
2qr\int_{V}^.zy\rho dv-2rp\int_{v}^.xz dv-2pq\int_{V}^.xy dv]=
\frac{1}{2}(Ap^2+Bq^2+Cr^2-2qrA_{1}-2rpB_{1}-2pqC_{1}).

Se la terna di riferimento è principale di inerzia A1 = B1 = C1 = 0 l'energia cinetica totale del corpo rigido è data da:

T=\frac{1}{2}(Ap^2+Bq^2+Cr^2)+\frac{1}{2}M{v_{G}}^2
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