Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Giroscopio

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Un solido, che gode della proprietà che i suoi due momenti principali di inerzia A e B sono uguali, e rotante intorno ad un punto fisso, si chiama giroscopio simmetrico. Ed il suo terzo asse principale d'inerzia si chiama asse di simmetria del giroscopio.

[modifica] --moto di precessione libera di un giroscopio

Il tipo più importante di movimento di un giroscopio è detto moto di precessione. Lo si può dedurre facendo ruotare il corpo intorno al suo asse di simmetria con velocità angolare , e facendo contemporaneamente ruotare l'asse di simmetria con velocità angolare intorno ad un asse fisso nello spazio per esempio l'asse ζ. In questo caso l'asse di simmetria descrive una superficie conica, il cui angolo di semiapertura indicheremo con θ.

Il vettore , risultante di e ruota anche lui intorno all'asse ζ.

Vogliamo ora studiare il problema del moto di un giroscopio allorquando il sistema di forze ad esso applicato è un sistema nullo.

In questo caso, considerando che per tutti gli assi normali a accade che A=B, le equazioni di Eulero si riducono alle seguenti:

Le componenti di sugli assi mobili , , , valgono:

L'ultima delle equazioni di Eulero:

porta subito alla conclusione che sono costanti ed indipendenti dal tempo.

Sostituendo i valori di nelle due prime equazioni di Eulero e sommandole otteniamo l'unica soluzione:

La quale ci fornisce, dati i valori di e il valore della velocità di precessione quando il giroscopio non è soggetto ad azioni esterne cioè:

Possiamo subito notare che nel caso di e la velocità ha lo stesso senso di per

A parità di momenti d'inerzia A e C il senso di moto si inverte per cioè se è un angolo ottuso.

Consideriamo il piano questo incontrerà il piano lungo una retta Essendo una retta del piano ed essendo tutti assi principali di inerzia le rette passanti per e giacenti in abbiamo:

e tenendo conto che la precessione è libera

Cioè

ovvero

Per cui le componenti di sono

Cioè il vettore momento della quantità di moto è fisso nello spazio e giacente come su e con modulo costante

o in funzione di

Cioè possiamo concludere che nel moto di precessione libero di un giroscopio con velocità di precessione i quattro vettori giacciono sempre sul piano rotante .

[modifica] --momento di un giroscopio simmetrico

Abbiamo visto nel precedente paragrafo come mediante l'applicazione delle equazioni di Eulero è possibile risolvere il caso di un giroscopio non soggetto ad azioni di forze esterne ed abbiamo trovato l'espressioni che danno la velocità di precessione libera o regolare di un giroscopio. Vogliamo ora vedere quale è il valore del momento delle forze che devono agire sul giroscopio nel caso che la velocità di precessione non soddisfi la

Per trovare il valore di questo momento possiamo fare ricorso all'equazione cardinale della dinamica scritta per assi fissi

abbiamo visto infatti che nel caso di precessione libera , se

Ora se sono costanti ma non soddisfano le condizioni di precessioe, il vettore avrà modulo costante e risulterà applicato in e ruoterà con velocità angolare rispetto a . Per cui ricordando che le derivate di un vettore ruotante , se è la velocità di rotazione, è dato da

otteniamo che

Nel riferimento preso abbiamoche

Mentre ha componenti

Ricordando la regola del prodotto vettoriale si trova che ha una sola componente normale al piano ed è dato quindi da

[modifica] --giroscopio pesante

Consideriamo il caso di un giroscopio di peso P che ruoti intorno al suo asse di simmetria con velocità ω, e con velocità ω₁ntorno ad un asse normale all'asse di simmetria.

In questo caso per cui

Ora il momento esterno applicato è uguale al peso per il braccio 'l' del baricentro G da O. Per cui in definitiva avremo

Cioè il giroscopio per effetto delle forze d'inerzia starà in equilibrio se ω₁ è tale che:

o viceversa:

.