Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Dinamica

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Meccanica razionale

Sommario
Categoria · Copertina · Sviluppo · modifica il template

Copertina

Richiami di calcolo vettoriale
Cinematica
Statica
Dinamica del punto materiale e dei sistemi dei punti materiali
Dinamica dei sistemi rigidi
1. Teoria dei momenti d'inerzia
2. Energia cinetica di un corpo rigido
3. Equazione della dinamica dei corpi rigidi
4. Giroscopio
Appendice (cap 1°)
1. Appendice (cap 1°)

[modifica] --teorema del derivato della quantità di moto

L'equazione della quantità di moto si scrive dicendo:

${d\vec{Q}\over dt}=\vec{R_{e}}$

essendo:

$\vec{Q}=\sum_{i}m_{i}\vec{v_{i}}=\vec{v_{G}}\sum_{i} m_{i}$

Ora consideriamo un sistema rigido e prendiamo una terna solidale al corpo come terna di riferimento. Questa terna durante il moto rigido traslerà e ruotera per cui l'equazione:

${d\vec{Q}\over dt}=\vec{R_{}e}$

essendo riferita ad assi fissi dovrà essere opportuanmente cambiata.

La velocità del baricentro, se $x G, y G, z G$ ne sono le coordinate, è data da:

$\vec{v_{G}}=\vec{v_{o}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{}OG$

per cui la quantità di moto totale del sistema è data da:

$\vec{Q}=\vec{v_{G}}\int_{V} dm=\int_{V} (\vec{v_{o}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{OG})dm$

Ora se la terna di riferimento è una terna centrale $\vec{OG}=0$ per cui:

$\vec{Q}=\vec{v_{G}}\int_{V} dm=\int_{V} \vec{v_{o}}dm$

Se 'u', 'v', 'w' sono le componenti di $\vec{v_{G}}$ sui tre assi mobili avremo:

$\vec{Q}=M(u\vec{i}+v\vec{j}+w\vec{k})$ .

Eseguendo il derivato di $\vec{Q}$ rispetto al tempo e considerando che gli assi di riferimento sono mobili:

${d\vec{Q}\over dt}=M({du\over dt}\vec{i}+{dv\over dt}\vec{j}+{dw\over dt}\vec{k}+u{d\vec{i}\over dt}+v{d\vec{j}\over dt}+w{d\vec{k}\over dt})$

Da cui derivano le tre equazioni scalari che rappresentano l'equazioni della quantità di moto sui tre assi mobili solidali al corpo $\ x,\ y,\ x$ :

$M({du\over dt}+qw-rv)=R_{x}$

$M({dv\over dt}+ru-pw)=R_{y}$

$M({dw\over dt}+pv-qu)=R_{z}$

[modifica] --teorema del momento della quantità di moto

La seconda equazione cardinale della dinamica è data da:

${d\vec{K}\over dt}=\vec{M_{e}}$

sempre che il punto di riduzione dei momenti sia un punto fisso o il baricentro.

Nel caso di un corpo rigido assumiamo senz'altro che la terna solidale col corpo abbia origine nel baricentro (Terna Centrale). In questo caso $x_{G},\ y_{G},\ z_{G}$ sono nulli.

Allora la velocità di un punto 'P' del sistema è data:

$\vec{v}=\vec{G}+\vec{\Omega}\wedge\vec{PG}$

a cui compete una quantità di moto elementare:

$d\vec{Q}=dm(\vec{v_{G}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{PG})$

ed un momento della quantità di moto elementare rispetto al baricentro:

$d\vec{K}=\vec{PG}\wedge\ dm(\vec{v_{G}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{PG}).$

Il momento della quantità di moto totale è dato ovviamente da:

$\vec{K}=\int_{V} \vec{PG}\wedge\vec{v_{G}}dm+\int_{V} \vec{PG}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{PG})dm.$

Il termine $\int_{V} \vec{PG}\wedge\vec{v_{G}}dm$ è zero in quanto la quantità di moto totale è un vettore che passa per il baricentro, per cui:

$\vec{K}=\int_{V} \vec{PG}\wedge(\Omega\wedge\vec{PG})dm.$

Se $\ x, \ y, \ z$ sono le coordinate di $\ P$ e $\ p, \ q, \ r$ le componenti di $\vec{\Omega}$ :

$\vec{\Omega}\wedge\vec{PG}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\p&q&r\\x&y&z\end{vmatrix}=(qz-zy)\vec{i}+(rx-pz)\vec{j}+(py-qx)\vec{k}$

ed ancora:

$\vec{PG}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\vec{PG}=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\x&y&z\\(qz-ry)&(rx-pz)&(py-qz)\end{vmatrix}=$

$[y(py-qx)-z(rx-pz)]\vec{i}+[z(qz-ry)-x(py-qx)]\vec{j}+[x(rx-pz)-y(qz-ry)]\vec{k}.$

Per cui possiamo scrivere che:

$K_{x}=p\int_{V} \rho\ (x^2+z^2) dv-r\int_{V} xz\rho\ dv-q\int_{V} xy\rho\ dv$

$K_{y}=q\int_{V} \rho\ (z^2+x^2) dv-r\int_{V} yz\rho\ dv-p\int_{V} xy\rho\ dv$

$K_{z}=r\int_{V} \rho\ (x^2+y^2) dv-p\int_{V} xz\rho\ dv-q\int_{V} zy\rho\ dv$

Ora se la terna di riferimento è una terna principale di inerzia tutti gli integrali del tipo $\int_{V} xz\ dm$ sono nulli quindi il momento della quantità di moto rispetto agli assi mobili è dato da:

$\vec{K}=Ap\vec{i}+Bq\vec{j}+Cr\vec{k}$

Applicando ora l'equazione del momento della quantità di moto e tenendo conto che gli assi sono mobili otteniamo:

${d\vec{K}\over dt}=A\dot{p}\vec{i}+B\dot{q}\vec{j}+C\dot{r}\vec{k}+\Omega\wedge(Ap\vec{i}+Bq\vec{j}+Cr\vec{k})=\vec{M_{e}}$

E quindi le tre equazioni scalari:

$A{dp\over dt}+(C-B)rq=\vec{M_{x}}$

$B{dq\over dt}+(A-C)pr=\vec{M_{y}}$

$C{dr\over dt}+(B-A)pq=\vec{M_{z}}$

Concludendo possiamo dire che un motorigido rimane individuato dalla conoscenza dei suoi sei parametri $\ u,v,w,p,q,$ che corrispondono a sei gradi di libertà del corpo. Per cui note le cause esterne che producono il moto $\vec{R_{e}}$ e $\vec{M_{e}}$ che potranno essere in generale funzioni di $\ u,v,w,p,q,r$ e delle coordinate, è possibile attraverso l'integrazione delle equazioni differenziali scritte e con le opportune condizioni ai limitiindividuare completamente il mptp rigido.

È facile vedere che se il corpo deve stare in equilibrio $\ u=v=w=p=q=r=0$ le equazioni precedenti si riducono ad:

$\ R_{x}=0$	$\ M_{x}=0$
$\ R_{y}=0$	$\ M_{y}=0$
$\ R_{z}=0$	$\ M_{z}=0$

Le quali rappresentano come abbiamo già visto le equazioni fondamentali della statica.

[modifica] --lavoro di una forza in uno spostamento rigido

Uno spostamento rigido è individuato come abbiamo detto da sei parametri. Infatti lo spostamento di un punto 'P' è dato da:

$\vec{ds}=\vec{v}dt=(\vec{v_{o}}+\vec{\Omega}\wedge\vec{OP})dt$

Se $\vec{F_{e}}$ è la forza esterna applicata sul punto 'P', questa compie un lavoro:

$dL=\vec{F_{e}}\times\vec{ds}=(\vec{F_{e}}\times\vec{v_{o}})dt+(\vec{F_{e}}\times\Omega\wedge\vec{OP})dt$

Ricordando che:

$\vec{F_{e}}\times\vec{\Omega}\wedge\vec{OP}=\vec{\Omega}\times\vec{OP}\wedge\vec{F_{e}}$

il lavoro elementare si può esprimere in definitiva come:

$dL_{e}=\vec{F_{e}}\times\vec{ds}=[\vec{F_{e}}\times\vec{v_{o}}+\vec{\Omega}\times\vec{OP}\wedge\vec{F_{e}}]dt=\vec{F_{e}}\times\vec{v_{o}}+\vec{\Omega dt}\times\vec{OP}\wedge\vec{F_{e}}$