Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Momenti di inerzia

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[modifica] Teoria dei momenti d'inerzia

Consideriamo un punto materiale P ed una retta a. Dicesi momento d'inerzia del punto materiale P rispetto alla retta a:

i=\ m\delta^2

essendo δ la distanza di P da a ed m la sua massa.

Nel caso di un sistema di n masse:

I=\sum_{i=1}^n m_{i}\delta_{i}^2

Nel caso che si abbia un sistema continuo, la definizione è perfettamente valida; basta introdurre la densità ρ del sistema e scrivere:

I=\int_{V}^.{\rho\delta^2 dv}

essendo dv l'elementino del volume.

Si chiama raggio d'inerzia:

\sigma=\sqrt{\frac{I}{M}}

Essendo:

M=\sum_{i=1}^n {m_{i}}

o, nel caso di un sistema continuo:

M=\int_{V}^.{\rho dv}

La ricerca del momento d'inerzia di un sistema S rispetto ad un asse generico dello spazio può in ogni caso effettuarsi direttamente in base alla definizione. Questa ricerca è spesso molto agevolata dalle due proposizioni seguenti.

--Teorema di Huygens

Se I è il momrento d'inerzia do S rispettp ad a, I0 il momento d'inerzia S rispetto ad a0, retta parallela ad a passante per il baricentro G, e se infine d è la distanza fra queste due rette:

I=I_{0}+M\cdot{d^2}

-Teorema sul modo di variare di I al variare dell'asse 'a' entro una stella di centro 'O'.

Fissato un punto 'O' prendiamo una terna ortogonale 'Oxyz' di centro 'O' e consideriamo una retta generica 'r' passante per 'O', definita dai suoi tre coseni direttori 'α', 'β', 'γ' rispetto agli assi 'x','y', 'z'.

Si dimostra abbastanza facilmente che

\ I=A\alpha^2+B\beta^2+C\gamma^2-2 A_{1}\beta\gamma-2 B_{1}\gamma\alpha-2 C_{1}\alpha\beta

Consideriamo ora l'elissoide d'equazione:

\ A x^2+B y^2+C z^2-2 B_{1}yz-2 B_{1}xz-2 C_{1}yx=1

questo elissoide ha la proprietà che se si indica con 'L' un suo punto, la quantità:

\frac{1}{|OL|^2}

dà il momento d'inerzia rispetto alla retta 'OL'

Ora se come terna di assi di riferimento si prendono i tre assi principali dell'elissoide si ottiene:

\ A_{1}=B_{1}=C_{1}=0

e l'elissoide si riduce a:

\ A x^2+B y^2+C z^2=1

mentre il momento d'inerzia è dato semplicemente da:

\ I=A \alpha^2+B \beta^2+C \gamma^2

Ora 'A','B','C' prendono il nome di momenti principali d'inerzia. Se 'O'='G' baricentro l'elissoide si chiama elissoide centrale ed 'A','B', 'C' si chiamano momenti centrali d'inerzia.

La ricerca degli assi principaliè assai semplificata nei seguenti casi particolari che si presentano di frequente.

--a)Se 'S' ammette un piano di simmetria in ogni punto di questo piano la normale al piano coincide con uno degli assi principali d'ineerzia.

--b)Se un corpo ha due piani di simmetria ortogonali, sono assi principali la retta r1 e le due rette in 'O' normali ai piani π1 e π2.

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