Meccanica razionale/Richiami di calcolo vettoriale

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Meccanica razionale

Sommario
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Copertina

Richiami di calcolo vettoriale
1. Definizione di vettore
2. Operazioni sui vettori
3. Vettori applicati
4. Differenziazione ed integrazione di vettori
Cinematica
Statica
Dinamica del punto materiale e dei sistemi dei punti materiali
Dinamica dei sistemi rigidi
Appendice (cap 1°)
1. Appendice (cap 1°)

Figura 1

Indice

1 Definizione di vettore
- 1.1 Rappresentazione cartesiana
- 1.2 Vettori unitari
2 Operazioni sui vettori
3 Vettori applicati
4 Differenziazione ed integrazione di vettori

[modifica] Definizione di vettore

Un vettore è una grandezza definita dalle seguenti entità:

modulo
direzione
verso

Consideriamo la figura 1: diremo che il modulo è rappresentato dalla distanza AB, la direzione è individuata dalla direzione della retta passante per A, B ed il verso è quello che va da A verso B.

[modifica] Rappresentazione cartesiana

Scelta a piacere una terna cartesiana ortogonale (O, x, y, z) chiameremo componenti del vettore:

$\vec v (AB)$

lungo x, y, z le seguenti quantità:

$\begin{vmatrix}v_x=x_B-x_A\\v_y=y_B-y_A\\v_z=z_B-z_A\end{vmatrix}$

Il modulo di questo vettore è dato dalla seguente quantità:

$|\vec v|=\overline{AB}=\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

L'orientamento del vettore, cioè direzione e verso, rimane completamente individuato dai coseni direttori:

$\alpha={v_x\over\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

$\beta={v_y\over\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

$\gamma={v_z\over\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}$

[modifica] Vettori unitari

Chiamasi vettore unitario o versore, il vettore avente modulo $|\vec v|=1$ , e poiché:

si vede che le componenti del vettore unitario sono i coseni direttori stessi.

Definiamo come i tre vettori unitari fondamentali, i tre vettori unitari che hanno l'orientamento dei tre assi cartesiani $\ x,\ y,\ z$ e li individuiamo rispettivamente in $\vec i,\vec j,\vec k.$

[modifica] Operazioni sui vettori

[modifica] Somma

Dati $\ n$ vettori e scelto ad arbitrio il punto $\ O$ costruiamo la poligonale (in generale, sghema), $\ OE_1E_2....E_n$ con la condizione che $\ E_1$ sia l'estremo del vettore $\vec v_1$ applicato in $\ O$ , $\ E_2$ l'estremo del vettore $\vec v_2$ applicato in $\ E_2$ , allora chiameremo risultato o somma dei $\vec v_1,\vec v_2...\vec v_n$ il vettore $\vec {OE_n}\equiv\vec R$

Nella rappresentazione cartesiana si ottiene:

$\ R_x=\sum v_x$

$\ R_y=\sum v_y$

$\ R_z=\sum v_z$

[modifica] Prodotto scalare

Si definisce come prodotto scalare fra due vettori $\vec v,\vec w$ la quantità scalare:

$|\vec v|\times|\vec w|\cos(\vec v,\vec w)$

Nella rappresentazione cartesiana $\vec v (v_x, v_y, v_z)$ e $\vec w(w_x, w_y, w_z) :$

$\vec v\times\vec w=v_x w_x+v_y w_y+v_z w_z$

e ricordando che i coseni direttori sono:

$\alpha_1={v_x\over\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}\qquad\alpha_2={w_x\over\sqrt[2]{w_x^2+w_y^2+wz^2}}$

$\beta_1={v_y\over\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}\qquad\beta_2={w_y\over\sqrt[2]{w_x^2+w_y^2+w_z^2}}$

$\gamma_1={v_z\over\sqrt[2]{v_x^2+v_y^2+v_z^2}}\qquad\gamma_2={w_z\over\sqrt[2]{w_x^2+w_y^2+w_z^2}}$

per cui:

$\vec v\times\vec w=|\vec v||\vec w|(\alpha_1\alpha_2+\beta_1\beta_2+\gamma_1\gamma_2)$

Il polinomio $\ \alpha_1\alpha_2+\beta _1\beta_2+\gamma_1\gamma_2$ è, il coseno dell'angolo fra le direzioni di $\vec v$ e $\vec w$ ; da questo è quindi facile vedere che se $\vec v\perp\vec w$ il prodotto scalare $\vec v\times\vec w=0$ in quanto $\ \alpha_1\alpha_2+\beta_1\beta_2+\gamma_1\gamma_2=0$

[modifica] Prodotto vettoriale

Per quanto abbiamo detto precedentemente se $\ v_x,\ v_y,\ v_z$ sono le componenti di $\vec v$ , e $\vec i,\vec j,\vec k$ sono i vettori fondamentali unitari, possiamo scrivere:

$\vec v=\ v_x\vec i+ v_y\vec j+ v_k\vec k$

Premesso ciò, si definisce prodotto vettoriale o vettore, fra due vettori $\vec v$ e $\vec w$ , il vettore definito nella seguente maniera:

$\vec v\wedge\vec w=|\vec v||\vec w|\sin(\vec v,\vec w)\cdot \vec n$

[modifica] Prodotto misto e prodotto vettoriale doppio

Si definisce prodotto misto dati tre vettori $\vec a,\vec b,\vec d$

$\vec a\times (\vec b\wedge\vec d)$

che è una quantità scalare. Il prodotto misto si annulla se $\vec a$ è parallelo a $\vec b$ o a $\vec d.$

$\vec a\times(\vec b\wedge\vec d)\qquad\begin{vmatrix}a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z\\d_x&d_y&d_z\end{vmatrix}$

Valgono le seguenti prpprietà commutatrici:

$\vec a\times(\vec b\wedge\vec d)=\vec b\times(\vec d\wedge\vec a)=\vec d\times(\vec a\wedge\vec b)$

Si definisce il prodotto vettoriale doppio il vettore:

$\vec a\wedge(\vec b\wedge\vec d)=(\vec d\times\vec a)\cdot\vec b-(\vec b\times\vec a)\cdot\vec d$

Infatti $\vec d\times\vec a$ e $\vec b\times\vec a$ sono numeri che moltiplicati rispettivamente per i vettori $\vec b$ e $\vec d$ danno dei vettori.

In coordinate cartesiane si può scrivere sinteticamente:

$\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\a_x&a_y&a_z\\\begin{vmatrix}b_y&b_x\\d_y&d_z\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}b_z&b_x\\d_z&d_x\end{vmatrix}&\begin{vmatrix}b_x&b_y\\d_x&d_y\end{vmatrix}\end{vmatrix}$

[modifica] Prodotto vettore dei vettori unitari fondamentali

Si ottengono le seguenti formule:

$\begin{cases}\vec j\wedge\vec k=\vec i\\\vec k\wedge\vec i=\vec j\\\vec i\wedge\vec j=\vec k\end{cases}$

[modifica] Vettori applicati

Si chiama vettore applicato, un qualsiasi vettore $\vec v$ applicato in un determinato punto $\ A$ dello spazio.

-Chiamasi coppia l'insieme di due vettori aventi modulo uguale e rette di applicazione parallele a versi opposti. La distanza $\ d$ fra le due rette è chiamata braccio della coppia.

b)

Momento di un vettore rispetto ad un punto.

Il momento di un vettore applicato rispetto ad un punto è il vettore definito nella seguente maniera. Se $\ B$ è il punto rispetto al quale si vuole calcolare il momento, dicesi momento di $\ (A,\vec v)$ rispetto a $\ B$ il vettore che ha per modulo:

$\ |m_b|=AB\times|\vec v|\ sin\theta$

e direzione normale al piano $\vec{BA}$ e $\vec v$ .

Il verso è definito quello di un osservatore che giacente lungo la normale al piano di $\ \vec {BA}$ e $\ \vec v$ vede $\vec{BA}$ andare verso $\vec v$ con senso antiorario.

[modifica] Differenziazione ed integrazione di vettori

[modifica] Differenziazione

Una funzione vettoriale di una o più variabili scalari è generalmente chiamata campo vettoriale. La derivata di una funzione vettoriale $\vec F$ di una sola variabile $\ t$ è definita da:

${d\vec F(t)\over dt}=\lim_{\Delta\to 0}{\vec F(t+\Delta t)-\vec F(t)\over \Delta t}=\lim{\Delta\vec F{(t)}\over dt}$ .

Ora durante l'incremento $\ \Delta (t)$ il vettore $\ \vec F$ può cambiare semplicemente in direzione, restando il suo modulo inalterato. Ed allora avremo:

$\ \vec F\times\Delta\vec F=\vec F\times d\vec F=0.$

Ovvero può variare il modulo, rimanendo la direzione inalterata. E questo può essere espresso sinteticamente da:

$\vec F\wedge d\vec F=0$

[modifica] Regole di differenziazione

$\ d(\vec A+\vec B)=d\vec A+d\vec B$

$\ d(\vec A\times \vec B)=\vec A\times d\vec B+\vec B\times d\vec A$

$\ d(\vec A\wedge\vec B)=d\vec A\wedge\vec B+\vec A\wedge d\vec B=\vec A\wedge d\vec B-\vec B\wedge d\vec A$

[modifica] Operatori differenziali

Vogliamo ricordare brevemente i principali operatori differenziali che si usano nei vari campi della Meccanica. Si definisce l'operatore differenziale $\ \nabla$ il vettore:

$\ \vec\nabla=\vec i{\partial\over\partial x}+\vec j{\partial\over\partial y}+\vec k{\partial\over\partial z}$

mentre l'operatore differenziale "Laplaciano" definito da:

$\ \nabla^2={\partial^2\over\partial x^2}+{\partial^2\over\partial y^2}+{\partial^2\over\partial z^2}$

è uno scalare.

Se $\ V(P)$ e una funzione scalare dei punti dello spazio $\ V(x,y,z)$ si chiama $\ grad V$ il vettore:

$\vec\nabla\cdot V=\vec i\ {\partial V\over\partial x}+\vec j\ {\partial V\over\partial y}+\vec k\ {\partial V\over\partial z}$

Se $\vec A$ è una funzione vettoriale con componenti $\ A_x,\ A_y,\ A_z$ si chiama divergenza di $\vec A$ la quantità scalare:

$\ div\vec A=\vec\nabla\times\vec A={\partial A_x\over\partial x}+{\partial A_y\over\partial y}+{\partial A_z\over\partial z}$

Sempre nel caso che $\ \vec A$ è una funzione vettoriale di componenti $\ A_x,\ A_y,\ A_z$ si chiama rotore di $\ \vec A$ il vettore definito da:

$\ rot\vec A=\vec\nabla\wedge\vec A=\begin{vmatrix}\vec i&\vec j&\vec k\\{\partial\over\partial x}&{\partial\over\partial y}&{\partial\over\partial z}\\A_x&A_y&A_z\end{vmatrix}=$

$\vec i ({\partial A_z\over\partial y}-{\partial A_y\over\partial z})+\vec j ({\partial A_x\over\partial z}-{\partial A_z\over\partial x})+\vec k ({\partial A_y\over\partial x}-{\partial A_x\over\partial y})$