Meccanica razionale/Dinamica/Lavori virtuali

Vincoli

Si chiama vincolo una qualsiasi condizione imposta al moto di un punto. Quindi da un punto di vista matematico il vincolo è una qualsiasi relazione aggiuntiva alle equazioni del moto espressa come una funzione delle x,y,z e del tempo t.

Questi vincoli impedendo il moto del punto in certe direzioni esercitano sul punto certe reazioni eguali per la terza legge della Dinamica, alle azioni che il punto esercita su di essi. Queste reazioni si chiamano quindi reazioni vincolari.

Se $x_{1},y_{1},z_{1}$..... e $x_{n},y_{n},z_{n}$ sono le coordinate degli n punti costituenti il sistema di punti considerati, si chiama vincolo olonomo quel vincolo rappresentato da una relazione fra le sole coordinate del sistema

$\ f=(x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2},....,x_{n},y_{n},z_{n})=0$

e se non contiene la variabile tempo esplicitamente si dice anche vincolo olonomo indipendente dal tempo.

In generale per un sistema di punti soggetto ad "m" vincoli avremo che le "3n" coordinate dei punti del sistema dovranno soddisfare "m" relazioni del tipo anzidetto.

Reazioni vincolari

Come abbiamo detto le azioni che il vincolo esercita sul punto si chiama reazione vincolare, questa in generale è sempre diretta secondo la normale alla superficie o alla linea definente il vincolo. Il vincolo si chiama perfetto quando la reazione è sempre diretta secondo la normale alla superficie o alla linea. In caso contrario la componente tangenziale che si oppone sempre al moto, è detta attrito. Si definisce coefficiente d'attrito f il rapporto fra la componente tangenziale T della reazione e la componente normale N della reazione:

$f={\frac {T}{N}}$

Metodo dei lavori virtuali

Un qualsiasi spostamento dei punti del sistema compatibile con i vincoli dicesi spostamento virtuale. Il metodo dei lavori virtuali consente di scrivere le equazioni di equilibrio o quelle del moto in modo che le reazioni vincolari non appaiano affatto: ciò è possibile nel caso dei vincoli perfetti ossia nel caso in cui le reazioni non compiono lavoro quando il sistema si muove compatibilmente coi vincoli.

Consideriamo un sistema di n punti materiali soggetti all'azione di certe forze esterne date, e di certi vincoli olonomi perfetti definiti da r relazioni del tipo:

(9)

${\dot {f_{r}(x,y,z,.......x_{n},y_{n},z_{n})}}=0$

Se le forze date si indicano con $X_{i},Y_{i},Z_{i}$ mentre le componenti delle reazioni dei vincoli sono $X_{ir},Y_{ir},Z_{ir}$, allora il sistema sarà in equilibrio quando si annulla il risultante della forza agente su qualsiasi degli n punti, cioè:

(10)

$X_{i}+\sum {x_{ir}}=0$||$Y_{i}+\sum {Y_{ir}}=0$||$Z_{i}+\sum {Z_{ir}}=0$

È ovvio che se $\delta x_{i},\delta y_{i},\delta z_{i}$ sono spostamenti arbitrari dello $i_{smo}$ punto si ha:

(11)

$(X_{i}+\sum _{i=1}^{r}X_{ir})\delta x_{i}+(Y_{i}+\sum _{i=1}^{r}Y_{ir})\delta y_{i}+(Z_{i}+\sum _{i=1}^{r}Z_{ir})\delta z_{i}=0$

in quanto le $(X_{i}+\sum _{i=1}^{r}X_{ir})$, $(Y_{i}\sum _{i=r}^{r}Y_{ir})$, $(Z_{i}+\sum _{i=1}^{r}Z_{i})$ sono sempre identicamente nulle.

Per cui la (5) è semplicemente un modo per riassumere in unica equazione le equazioni (4).

Per tutti gli n punti del sistema si ha allora:

(12)

$\sum _{i=1}^{n}[(X_{i}+\sum _{j=1}^{r}X_{jr})\delta x_{i}+(Y_{i}+\sum _{j=1}^{r}Y_{jr})\delta y_{i}+(Z_{i}+\sum _{j=1}^{r}Z_{jr})\delta z_{i}]=0$

Ora se $\delta x_{i}$, $\delta y_{i}$, e $\delta z_{i}$ è uno spostamento virtuale, se il vincolo è perfetto, il temine:

$\delta W_{r}=\sum _{i=1}^{n}(\delta x_{i}\sum _{j=1}^{r}X_{jr}+\delta y_{i}\sum _{j=1}^{r}Y_{jr}+\delta z_{i}\sum _{j=1}^{r}Z_{jr})$

che rappresenta il lavoro fatto dalle reazioni vincolari per uno spostamento virtuale $\delta x_{i}$, $\delta y_{i}$, $\delta z_{i}$ e quindi il lavoro virtuale delle reazioni, lavoro che si annulla in quanto le $X_{jr}$, $Y_{jr}$ e $Z_{jr}$ sono sempre normali rispettivamente alle $\delta x_{i}$, $\delta y_{i}$ e $\delta z_{i}$ per cui la (12) si riduce alla seguente:

(13)

$\delta W_{v}=\sum _{i=1}^{n}(X_{i\delta x_{i}}+Y_{i}\delta y_{i}+Z_{i}\delta z_{i})=0$

che esprime il fatto che affinché il sistema sia in equilibrio il lavoro virtuale delle forze esterne deve essere zero.

Si intende per lavoro virtuale il lavoro delle forze esterne per un qualsiasi spostamento arbitrario, ma compatibile con i vincoli esterni.

Cioè $\delta x_{,}$, $\delta y_{i}$, $\delta z_{i}$ non sono fra loro indipendenti ma devono soddisfare ad "r" relazioni del tipo:

$\sum _{i=1}^{n}({\partial f_{r} \over \partial x_{i}}\delta x_{i}+{\partial f_{r} \over \partial y_{i}}\delta y_{i}+{\partial f_{r} \over \partial z_{i}}\delta z_{i})=0$

che si ottengono differenziando le condizioni (9). Per cui è possibile esprimere "r" degli spostamenti $\delta x_{i}$, $\delta y_{i}$, $\delta z_{i}$ in funzione delle rimanenti 3n-r.

Allora la (13) esprime che i coefficienti di queste 3n-r relazioni si devono annullare, cioè equivale a 3n-r equazioni che, insieme alle "r" esprimenti i vincoli, permette di risolvere completamente il problema.

Principio di d'Alembert

Il principio dei lavori virtuali può essere esteso a problemi di dinamica, cioè alla determinazione delle equazioni del moto. Questa estensione è basata sul principio di d'Alembert, il quale stabilisce che, in ogni istante, ogni stato del moto può essere considerato come uno stato di equilibrio, qualora siano introdotte delle appropriate forze d'inerzia.

La seconda legge della dinamica dice che per un punto di massa m vale la seguente relazione:

${\vec {F}}=m{\vec {a}}$

o meglio:

${\vec {F}}-m{\vec {a}}={\vec {R_{i}}}=0$

Cioè chiamando forze di inerzia il prodotto della massa del punto per la sua accelerazione cambiato di segno, possiamo dire che il risultante di questa forza e di quelle esterne agenti sul punto deve essere in ogni istante nullo.

Se scriviamo le tre equazioni cartesiane potremo dire:

$X_{i}=X_{ie}-m{\ddot {x}}=0$

$Y_{i}=Y_{ie}-m{\ddot {y}}=0$

$Z_{i}=Z_{ie}-m{\ddot {z}}=0$

Se il punto è soggetto all'azione di un vincolo definito da una espressione:

$\ f(x,y,z)=0$

e se $x_{i}$, $y_{i}$, $z_{i}$ sono le componenti di uno spostamento virtuale, potremo dire:

$\ X_{i}\delta x_{i}+Y_{i}\delta y_{i}+Z_{i}\delta z_{i}=0$

e per tutti i punti del sistema:

$\sum _{n=1}^{n}(X_{i}\delta x_{i}+Y_{i}\delta y_{i}+Z_{i}\delta z_{i})=0$

che equivale perfettamente alla (1).