Meccanica razionale/Dinamica/Sistemi di punti

equazioni del moto per un sistema di punti e teorema del baricentro

Se consideriamo un sistema S di punti materiali, e sia $m_{i}$ la massa e ${\vec {v_{i}}}$ la velocità del generico punto $m_{i}$, l'equazione del moto per questo punto può esere scritta:

(6)

${d \over dt}(m_{i}{\vec {v_{i}}})={\vec {F_{e}}}+{\vec {F_{i}}}$

Essendo ${\vec {F_{e}}}$ la forza esterna applicata a questo punto mentre ${\vec {F_{i}}}$ è il risultante di tutte le azioni che i punti circostanti esercitano sul punto considerato. Se scriviamo la precedente equazione per tutti i vari punti avremo n equazioni vettoriali che sommate si riducono alla unica

(7)

${d \over dt}(\sum {m_{i}}{\vec {v_{i}}})=\sum {\vec {F_{e}}}+\sum {\vec {F_{i}}}$

Questa equazione proiettata in tre assi dà le seguenti tre equazioni scalari:

(8)

${d \over dt}(\sum {m_{i}}{\dot {x_{i}}})=\sum {X_{i}}+\sum {X_{e}}$

${d \over dt}(\sum {m_{i}}{\dot {y_{i}}})=\sum {Y_{i}}+\sum {Y_{e}}$

${d \over dt}(\sum {m_{i}}{\dot {Z_{i}}})=\sum {Z_{i}}+\sum {Z_{e}}$

Ma il risultante delle forze interne per il principio di azione e reazione è un sistema nullo, cioè $\sum {X_{i}}=\sum {y_{i}}=\sum {Z_{i}}=0$, in quanto le forze interne a due a due costituiscono dei sistemi nulli.

Allora le equazioni (8) divengono:

${d \over dt}(\sum {m_{i}}{\dot {x_{i}}})=\sum {X_{e}}$

${d \over dt}(\sum {m_{i}}{\dot {y_{i}}})=\sum {Y_{e}}$

${d \over dt}(\sum {m_{i}}{\dot {z_{i}}})=\sum {Z_{e}}$

Ricordando la definizione di baricentro di un sistema di masse cioè come quel punto G tale che le sue coordinate sono date dalle seguenti espressioni:

$x_{G}={\frac {\sum {m_{i}x_{i}}}{\sum {m_{i}}}}$

$y_{G}={\frac {\sum {m_{i}y_{i}}}{\sum {m_{i}}}}$

$z_{G}={\frac {\sum {m_{i}}z_{i}}{\sum {m_{i}}}}$

e considerando $\ m_{i}=cost$

$(\sum _{}m_{i}){\dot {x_{G}}}=\sum _{}m_{i}{\dot {x_{i}}}$

$(\sum _{}m_{i}){\dot {y_{G}}}=\sum _{}m_{i}{\dot {y_{i}}}$

$(\sum _{}m_{i}){\dot {z_{G}}}=\sum _{}m_{i}{\dot {z_{i}}}$

E tenendo conto che la massa totale del sistema è data da $M=\sum {}m_{i}$ si ottengono le tre seguenti equazioni

${d \over dt}(M{\dot {x_{G}}})=\sum _{}X_{e}$

${d \over dt}(M{\dot {y_{G}}})=\sum _{}Y_{e}$

${d \over dt}(M{\dot {z_{G}}})=\sum _{}Z_{e}$

da cui deriva il teorema fondamentale del baricentro. Cioè che il baricentro del sistema si muove come un punto materiale avente la massa totale $\ M$ del sistema e su cui agisce una forza eguale alla somma vettoriale delle forze agenti su tutti i vari punti di massa.

Concludendo possiamo dire che se $\ Q$ è la quantità di moto totale del sistema dato da

${\vec {Q}}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}v_{i}$

il teorema della quantità di moto si esprime dicendo che il derivato delle quantità di moto è uguale al risultante delle sole forze esterne applicate al sistema, cioè

${d{\vec {Q}} \over dt}={\vec {R_{e}}}$

Momento delle quantità di moto

Consideriamo un punto 'C' ed un punto materiale $P_{i}$ a cui compete il vettore quantità di moto $m_{i}{\vec {v_{i}}}$. Il momento di $m_{i}{\vec {v_{i}}}$ è per definizione il vettore:

${\vec {H_{i}}}={\vec {CP_{i}}}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}}}$

Il momento risultante rispetto a 'C' è dato da:

$\sum {\vec {H_{i}}}=\sum {({\vec {CP_{i}}}}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}}})$

eseguiamo il derivato:

${d \over dt}\sum {\vec {H_{i}}}=\sum _{}({d \over dt}{\vec {CP_{i}}}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}}})+\sum ({\vec {CP_{i}}}\wedge {d \over dt}m_{i}{\vec {v_{i}}})$

Tenendo conto della relazione:

${\vec {CP_{i}}}={\vec {OP_{i}}}-{\vec {OC}}$

e derivando si ottiene:

${d \over dt}{\vec {OP_{i}}}={d \over dt}{\vec {OP_{i}}}-{d \over dt}{\vec {OC}}={\vec {v_{i}}}-{\vec {v_{c}}}$

che sostituite nell'espressione del momento della quantità di moto dà:

${d \over dt}\sum {\vec {H_{i}}}=\sum {({\vec {v_{i}}}-{\vec {v_{c}}})}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}}}+\sum {\vec {CP_{i}}}\wedge {d \over dt}(m_{i}{\vec {v_{i}}})$

ma osservando che:

$\sum ({\vec {v_{i}}}-{\vec {v_{c}}})=\sum {v_{i}}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}}}-\sum {\vec {v_{c}}}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}}}$

e che il termine vettoriale:

$\sum {\vec {v_{i}}}\wedge m_{i}{\vec {v_{i}}}=0$

e che per il teorema del baricentro:

$\sum {m_{i}{\vec {v_{i}}}}=M{\vec {v_{G}}}$

otteniamo in definitiva:

${d \over dt}\sum {\vec {H_{i}}}=\sum {\vec {CP_{i}}}\wedge {\vec {F_{e}}}-{\vec {v_{c}}}\wedge M{\vec {v_{G}}}$

E tenendo presente che $\sum {\vec {CP_{i}}}\wedge {\vec {F_{e}}}$ è il momento delle forze esterne rispetto a 'C', possiamo scrivere:

${d \over dt}\sum {\vec {H_{i}}}={\vec {M_{e}}}-{\vec {v_{c}}}\wedge M{\vec {v_{G}}}$

È da notare che il termine ${\vec {v_{c}}}\wedge M{\vec {v_{G}}}$ è zero solo se 'C' è fermo o è il baricentro, allora solo in questo caso possiamo scrivere semplicemente:

${d \over dt}\sum {\vec {H_{i}}}={\vec {M_{e}}}$

Concludendo che il vettore derivato del momento della quantità di moto è uguale al momento delle forze esterne rispetto al punto fisso o rispetto al baricentro.