Meccanica razionale/Sistemi rigidi/Energia cinetica

Energia cinetica di un corpo rigido

Se abbiamo un corpo rigido la velocità di ogni suo singolo punto è data, rispetto ad una terna di riferimento generico solidale con il corpo, dalla nota formula(6)

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{o}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {OP}}$

Se prendiamo la terna di riferimento con origine nel baricentro (terna centrale) 'G', abbiamo:

${\vec {v_{p}}}={\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}$

L'energia cinetica che compete quindi alla massa 'dm' con centro nel punto 'P' è data secondo la definizione da:

$dT={\frac {dm}{2}}({\vec {v_{G}}}+{\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}$

Ora possiamo anche scrivere:

${\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}}={\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}$

cioè

$dT={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]^{2}={\frac {dm}{2}}[{\vec {v_{G}}}^{2}+({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}+2{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})]$

ed ancora

$dT={\frac {dm}{2}}v_{G}^{2}+{\frac {dm}{2}}({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}-{\vec {v_{G}}}\times ({\vec {v_{p}}}dm-{\vec {v_{G}}}dm)$

ed integrando

$T={\frac {v_{G}^{2}}{2}}\int _{V}^{.}dm+{\frac {1}{2}}\int _{V}^{.}({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}-{\vec {v_{G}}}\times (\int _{V}^{.}{\vec {v_{p}}}dm-{\vec {v_{G}}}\int _{V}^{.}dm)$

avremo quindi in definitiva:

$T={\frac {1}{2}}M{v_{G}}^{2}+{\frac {1}{2}}\int _{V}^{.}({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}dm$

in quanto per definizione di quantità di moto totale di un sistema

$\int _{V}^{.}{\vec {v_{p}}}dm-\int _{V}^{.}{\vec {v_{G}}}dm=M{\vec {v_{G}}}-M{\vec {v_{G}}}=0$

Considerando che :

${\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}}=(qz-ry){\vec {i}}+(rx-pz){\vec {j}}+(py-qx){\vec {k}}$

abbiamo di conseguenza:

$({\vec {\Omega }}\wedge {\vec {GP}})^{2}=({\vec {v_{p}}}-{\vec {v_{G}}})^{2}=(qz-ry)^{2}+(rx-pz)^{2}+(py-qx)^{2}=$

$\ (z^{2}+x^{2})q^{2}+(z^{2}+y^{2})p^{2}+(x^{2}+y^{2})r^{2}-2qrzy-2rpxz-2pqxy$.

E quindi eseguendo l'integrale abbiamo:

${\frac {1}{2}}[q^{2}\int _{V}^{.}(z^{2}+x^{2})\rho dv+p^{2}\int _{V}^{.}(z^{2}+y^{2})\rho dv+r^{2}\int _{V}^{.}(x^{2}+y^{2})\rho dv-$

$2qr\int _{V}^{.}zy\rho dv-2rp\int _{v}^{.}xzdv-2pq\int _{V}^{.}xydv]=$

${\frac {1}{2}}(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2}-2qrA_{1}-2rpB_{1}-2pqC_{1})$.

Se la terna di riferimento è principale di inerzia $A_{1}=B_{1}=C_{1}=0$ l'energia cinetica totale del corpo rigido è data da:

$T={\frac {1}{2}}(Ap^{2}+Bq^{2}+Cr^{2})+{\frac {1}{2}}M{v_{G}}^{2}$