Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Corpo rigido in rotazione

Prendiamo un corpo rigido, che sia in rotazione attorno a un asse fisso $a$. Il corpo ruota con velocità angolare $\omega$, che può anche variare nel tempo, ma è uniforme su tutto il corpo; preso un elementino di massa $dm$, che si trova a distanza $h$ dall'asse di rotazione, avremo che la sua velocità tangenziale è $v=h\omega$.

Calcoliamo allora l'energia cinetica del corpo rigido in rotazione; poiché parliamo di corpo rigido, questo è un sistema continuo di punti materiali, quindi:

$dK={\frac {1}{2}}dmv^{2}={\frac {1}{2}}dmh^{2}\omega ^{2}$

Da cui otteniamo la relazione:

$K=\int {\frac {1}{2}}h^{2}\omega ^{2}dm={\frac {\omega ^{2}}{2}}\int h^{2}dm$

Il termine ${\frac {\omega ^{2}}{2}}$ è costante; il secondo termine, invece, $\int h^{2}dm$, si chiama momento di inerzia del corpo rigido e dipende dalla massa e dalla geometria del corpo. Nel prossimo modulo calcoleremo i momenti di inerzia di solidi noti.

Per quanto riguarda l'energia cinetica, definito il momento di inerzia come $I=\int h^{2}dm$, si ha che l'energia cinetica di un corpo rigido, rotante attorno a un asse fisso, è:

$K={\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

Nel caso generale, in cui, oltre a ruotare, stia anche traslando, avremo che, per il teorema di König, l'energia cinetica sarà data:

$K={\frac {1}{2}}Mv_{CM}^{2}+{\frac {1}{2}}I\omega ^{2}$

Nel caso particolare in cui il corpo ruoti attorno a un punto fisso $O$ diverso dal centro di massa l'energia cinetica è invece pari a:

$K={\frac {1}{2}}I_{O}\omega ^{2}$

Dove per $I_{O}$ si intende il momento di inerzia relativo a un asse passante per $O$, ma lo vedremo più dettagliatamente nel prossimo modulo.