Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per l'energia cinetica

Abbiamo visto come, sfruttando il sistema di riferimento del centro di massa, si possano descrivere diverse grandezze fisiche di un sistema. Ma, riguardo all'energia, come possiamo calcolare l'energia cinetica totale di un sistema di punti?

Intuitivamente, vale, per i sistemi discreti, l'espressione:

$\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}$

Mentre per un sistema continuo:

$\int {\frac {1}{2}}v^{2}dm$

Calcolare queste due espressioni può risultare complicato. A semplificare le cose, interviene il teorema di König per l'energia cinetica, che dimostriamo qui di seguito. Il teorema afferma che

L'energia cinetica di un sistema di punti materiali è la somma dell'energia cinetica che avrebbe il corpo se tutta la sua massa fosse concentrata nel centro di massa e l'energia cinetica relativa che possiede il sistema rispetto al centro di massa, ovvero:

$K={\frac {1}{2}}M_{tot}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}$

Dimostrazione

Prendiamo un sistema di punti materiali; per studiare l'insieme di punti, prendiamo due sistemi di riferimento, uno esterno e inerziale, che chiameremo $S_{0}$, il secondo è il sistema del centro di massa $S'$.

Il primo passo che compiamo è calcolare la velocità $v$ rispetto a $S_{0}$. Nei due sistemi di riferimento, sappiamo valere:

${\begin{cases}&{\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{CM}+{\vec {r}}_{i}^{'}\\&{\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{'}\end{cases}}$

Sostituiamo l'espressione di $v_{i}$ nell'espressione dell'energia cinetica:

${\begin{aligned}K=&\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\left({\vec {v}}_{i}\cdot {\vec {v}}_{i}\right)=\\&\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\left({\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{'}\right)\left({\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{'}\right)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}+\sum _{i}m_{i}v_{CM}v_{i}^{'}\\K=&{\frac {1}{2}}M_{tot}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}+v_{CM}\sum _{i}m_{i}v_{i}^{'}\end{aligned}}$

Per concludere la dimostrazione, non resta che dimostrare che l'ultimo termine della somma è nullo. Infatti, ricordando che ${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{CM}+{\vec {v}}_{i}^{'}$, possiamo scrivere l'espressione $m_{i}v_{i}$ come $m_{i}v_{CM}+m_{i}v_{i}^{'}$. Sommando:

${\begin{aligned}&\sum _{i}m_{i}v_{i}=\sum _{i}m_{i}v_{CM}+\sum _{i}m_{i}v_{i}^{'}\\&M_{tot}v_{CM}=M_{tot}v_{CM}+\sum _{i}m_{i}v_{i}^{'}\end{aligned}}$

Ovvero l'ultimo termine è nullo. Per questo, è dimostrato il teorema di König e l'energia cinetica di un sistema di punti sarà uguale a:

$K={\frac {1}{2}}M_{tot}v_{CM}^{2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{'2}$