Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Moto di una trottola

Il moto di una trottola è largamente studiato in meccanica razionale, con uno studio matematicamente più rigoroso e approfondito. Qui forniremo le conoscenze di base che introducono alla variazione del momento angolare ${\vec {J}}$ di un corpo rigido.

Una trottola è un oggetto di dimensioni fisiche apprezzabili, di solito una sfera o, in ogni caso, una forma simmetrica che ne permetta una buona rotazione, capace di poter stare in equilibrio, ruotando, su un solo punto. Le uniche forze agenti sulla trottola, quando questa è in rotazione, sono la reazione normale al piano ${\vec {N}}$, applicata nel punto di contatto col piano, e la forza peso $m{\vec {g}}$, applicata al suo centro di massa.

Il moto di precessione

Data una velocità di rotazione $\omega$ alla trottola, calcoliamone i momenti delle forze, scegliendo come polo il punto di contatto col piano; in questo caso il contributo della reazione vincolare è nullo, e il momento totale delle forze è:

${\vec {\tau }}={\vec {r}}\wedge m{\vec {g}}$

Il corpo, in rotazione, possiede un momento angolare $J=I\omega$. L'effetto del momento della forza peso è quello di far ruotare l'asse di rotazione: infatti, se mettiamo la trottola in rotazione verticale sul punto di appoggio, questa si trova in equilibrio precario: l'asse di rotazione tende ad inclinarsi, iniziando anch'esso a ruotare attorno alla verticale. Questo processo viene chiamato moto di precessione, ed è descritto dalla seconda legge cardinale dei sistemi. Infatti, come sappiamo:

${\vec {\tau }}^{ext}={\frac {\Delta J}{\Delta t}}$

In questo caso abbiamo preferito parlare di intervalli di tempo piuttosto che di infinitesimi: questo perché gli intervalli di tempo che andiamo a considerare sono apprezzabili quantitativamente. Sostituendo nella precedente formula il momento calcolato prima, troveremo che

$({\vec {r}}\wedge m{\vec {g}})\Delta t=\Delta {\vec {J}}$

Ovvero, dopo un certo intervallo di tempo $\Delta t$, possiamo apprezzare una variazione nel vettore momento angolare $\Delta {\vec {j}}$, che coincide con lo spostamento di questo dall'asse verticale. Dalla precedente formula è immediato che, più è grande il momento angolare, più lungo sarà il tempo impiegato a inclinare l'asse di rotazione. Poiché il modulo del momento di rotazione è dato da $J=I\omega$, maggiore sarà la velocità di rotazione, maggiore sarà il tempo necessario a inclinare l'asse.

Notiamo anche che, a variare, sono solo direzione e verso del momento; in questo caso approssimiamo la velocità di rotazione al caso in cui essa si mantenga costante. In realtà non è così, ma ne parleremo a fine modulo.

Dopo un certo tempo, il vettore ${\vec {J}}$ formerà con la verticale un angolo $\Delta \theta$; inoltre, mantenendo questo angolo costante, esso girerà attorno alla verticale, spostandosi di un angolo $\Delta \varphi$. Notiamo che le componenti del vettore ${\vec {J}}$ restano costanti in modulo; inoltre la proiezione sulla verticale $J\cos \theta$ resta costante anche in direzione e verso, mentre la componente orizzontale $J\sin \theta$ ruota assieme all'asse, segnando appunto l'angolo $\Delta \varphi$. Avremo quindi che:

${\frac {\Delta J}{J\sin \theta }}=\Delta \varphi$

Dividendo rispetto al tempo, otteniamo:

${\frac {\Delta J}{\Delta t}}=\left({\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}\right)\,J\sin \theta$

Il fattore ${\frac {\Delta \varphi }{\Delta t}}$ lo chiamiamo $\Omega _{p}$, omega di precessione, ovvero la velocità di rotazione dell'asse.

Ricordando il momento della forza peso calcolato all'inizio, è possibile ricavarsi esplicitamente $\Omega _{p}$:

${\begin{aligned}|{\vec {r}}\wedge m{\vec {g}}|=&r\,mg\sin \theta \\&r\,mg\sin \theta ={\frac {dJ}{dt}}=J\sin \theta \,\Omega _{p}\\&r\,mg=J\Omega _{p}=I\omega \,\Omega _{p}\\&\Omega _{p}={\frac {r\,mg}{I\omega }}\end{aligned}}$

Anche da questo risultato notiamo che più è grande il momento angolare del corpo, più lentamente esso precede.

Un caso particolare è il moto della Terra attorno al Sole. Infatti, come sappiamo, anche la Terra presenta un asse di rotazione inclinato, per cui anche in questo caso c'è un moto di precessione, causato inoltre anche da:

• la presenza della Luna e di altri corpi celesti;
• il fatto che la Terra non è perfettamente rigida;
• il fatto che la Terra non è perfettamente sferica.

Conosciamo la velocità di rotazione della Terra, pari a $\omega ={\frac {2\pi }{1{\text{ d}}}}$; è possibile inoltre calcolare la velocità di precessione, che è uguale a:

$\Omega _{T}={\frac {2\pi }{26\,000\,{\text{y}}}}$

Notiamo che è lentissima, e infatti non risentiamo, nella nostra vita quotidiana, di questo effetto. Tuttavia questo c'è, e comporta diversi problemi che si manifestano a lungo tempo, che sono già in fase di studio.

Il moto di nutazione

Nel precedente calcolo del moto di precessione abbiamo considerato la velocità di rotazione attorno all'asse $\omega$ come se fosse costante; in realtà essa non lo è, e infatti:

${\vec {J}}=I{\vec {\omega }}\neq {\text{ cost}}$

Questo perché il moto di precessione influenza la rotazione del corpo: in generale, ${\vec {\omega }}$ varia istante per istante, sia in modulo che direzione, causando un moto assai complesso da studiare. Avremo quindi, oltre a un moto di precessione che fa ruotare l'asse attorno alla verticale, un ulteriore moto, detto di nutazione, che fa oscillare quest'asse di rotazione.