Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Teorema di König per il momento angolare

Come abbiamo visto per l'energia cinetica, anche il momento angolare può essere scritto come:

${\vec {J}}_{0}={\vec {J}}_{CM}+{\vec {r}}_{CM}\wedge M{\vec {v}}_{CM}$

Questo non è altro che l'equivalente del teorema di König per il momento angolare:

Il momento angolare di un sistema rispetto a un polo fisso equivale alla somma del momento angolare del centro di massa e del sistema rispetto ad esso.

${\vec {J}}_{0}={\vec {J}}_{CM}+{\vec {r}}_{CM}\wedge M{\vec {v}}_{CM}$

Dimostrazione

Ricordando che:

${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}_{i}^{'}+{\vec {r}}_{CM}$

${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}_{i}^{'}+{\vec {v}}_{CM}$

Scriviamo il fattore ${\vec {J}}_{0}$:

${\begin{aligned}&{\vec {J}}_{0}=\sum _{i}\left({\vec {r}}_{i}\wedge m_{i}{\vec {v}}_{i}\right)=\sum _{i}\left[\left({\vec {r}}_{i}^{'}+{\vec {r}}_{CM}\right)\wedge m_{i}\left({\vec {v}}_{i}^{'}+{\vec {v}}_{CM}\right)\right]=\\=&\sum _{i}\left(m_{i}{\vec {r}}_{i}^{'}\wedge {\vec {v}}_{CM}\right)+\sum _{i}\left({\vec {r}}_{i}^{'}\wedge m_{i}{\vec {v}}_{i}^{'}\right)+\\+&\sum _{i}\left({\vec {r}}_{CM}\wedge m_{i}{\vec {v}}_{i}^{'}\right)+\sum _{i}\left({\vec {r}}_{CM}\wedge m_{i}{\vec {v}}_{CM}\right)=\\=&M{\vec {r}}_{CM}^{'}+{\vec {J}}_{CM}+{\vec {r}}_{CM}\wedge M{\vec {v}}_{CM}^{'}+{\vec {r}}_{CM}\wedge M{\vec {v}}_{CM}\\\Rightarrow &{\vec {J}}_{0}={\vec {J}}_{CM}+{\vec {r}}_{CM}\wedge M{\vec {v}}_{CM}\end{aligned}}$

Questo teorema è largamente utilizzato in teoria sia in astrofisica, per descrivere il moto di un pianeta che ruota su se stesso e anche attorno a una stella, tipo la Terra con il Sole, ma anche il fisica particellare, per descrivere lo spin di una particella.

Un risultato molto simile è il dimostrare come la seconda legge cardinale valga sia per un polo fisso che per un polo mobile.

Il momento esterno rispetto a un polo qualunque

Prendiamo un polo $\Omega$ qualunque, anche mobile; il momento angolare di un sistema ${\vec {J}}_{\Omega }$ rispetto a questo polo sarà:

${\vec {J}}_{\Omega }=\sum _{i}{\vec {r}}_{i}^{'}\wedge m_{i}{\vec {v}}_{i}$

Dove ${\vec {r}}_{i}^{'}$ rappresenta la distanza dell'i-esimo punto del sistema dal polo. Per calcolare il momento delle forze esterne, deriviamo rispetto al tempo:

${\begin{aligned}{\frac {d{\vec {J}}_{\Omega }}{dt}}=&{\frac {d}{dt}}\left(\sum _{i}{\vec {r}}_{i}^{'}\wedge m_{i}{\vec {v}}_{i}\right)=\\=&\sum _{i}{\vec {v}}_{i}^{'}\wedge m_{i}{\vec {v}}_{i}+\sum _{i}{\vec {r}}_{i}^{'}\wedge m_{i}{\vec {a}}_{i}\\=&\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left[\left({\vec {r}}_{i}-{\vec {r}}_{\Omega }\right)\wedge \left(m_{i}{\vec {v}}_{i}\right)\right]+{\vec {\tau }}_{\Omega }^{ext}\\=&\sum _{i}{\vec {v}}_{i}\wedge m_{i}{\vec {v}}_{i}-\sum _{i}{\vec {v}}_{\Omega }\wedge m_{i}{\vec {v}}_{i}+{\vec {\tau }}_{\Omega }^{ext}\\\Rightarrow &-{\vec {v}}_{\Omega }\wedge M{\vec {v}}_{CM}+{\vec {\tau }}_{\Omega }^{ext}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}\\\Rightarrow &{\vec {\tau }}_{\Omega }^{ext}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}+{\vec {v}}_{\Omega }\wedge M{\vec {v}}_{CM}\end{aligned}}$

Possiamo osservare che, se $\Omega$ corrisponde al centro di massa, oppure è un polo fisso, la velocità rispetto a esso ${\vec {v}}_{\Omega }=0$ è nulla, quindi la seconda legge cardinale diventa nella forma con cui la conosciamo, ovvero ${\vec {\tau }}^{ext}={\frac {d{\vec {J}}}{dt}}$.