Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Mutua interazione: problema dei due corpi

Il problema della mutua interazione riguarda casi in cui sono presenti due punti materiali i quali si esercitano a vicenda una forza. Prendiamo un caso semplificato: due corpi di massa $m_{1}$ e $m_{2}$, posti a distanza ${\vec {r}}$, esercitando ognuno una forza attrattiva sull'altro, la cui direzione è la retta congiungente i due punti materiali. Avremo che le due forze sono uguali e opposte: chiameremo il loro modulo $f$.

Prendiamo un sistema di riferimento con l'origine nel centro di massa del sistema. In questo modo il sistema non sarà accelerato, bensì si muoverà di moto costante, pertanto è un sistema di riferimento inerziale per il quale valgono le leggi della dinamica. Avremo quindi che:

${\begin{aligned}&{\frac {m_{1}{\vec {r}}_{1}+m_{2}{\vec {r}}_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\vec {0}}\\&m_{1}{\vec {r}}_{1}=-m_{2}{\vec {r}}_{2}\\&{\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}\end{aligned}}$

Dove nell'ultima espressione si è passati al modulo delle distanze. Studiamo a questo punto il moto di uno dei due corpi, prendiamo in analisi quello con massa $m_{2}$

${\vec {f}}(r)=m_{2}{\frac {d^{2}{\vec {r}}_{2}}{dt^{2}}}$

Notiamo due cose: primo, che la forza è funzione della distanza tra i due punti. Secondo, che la distanza tra i due punti coincide con la somma delle distanze dei punti dal centro di massa, ovvero: $r=r_{1}+r_{2}$. Per scriverlo in maniera migliore, evidenziamo $r_{2}$ come: $r=r_{2}\left(1+{\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)$. Poiché abbiamo visto poco sopra la relazione che lega il rapporto dei due raggi, possiamo a questo punto scrivere:

${\begin{aligned}&r=r_{2}\left(1+{\frac {m_{2}}{m_{1}}}\right)=r_{2}{\frac {m_{1}+m_{2}}{m_{1}}}\\&{\vec {r}}_{2}={\frac {m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\vec {r}}\end{aligned}}$

Andiamo adesso a sostituire questa espressione nella formula della forza:

${\vec {f}}(r)=m_{2}{\frac {d^{2}{\vec {r}}_{2}}{dt^{2}}}={\frac {m_{2}m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

Diamo una definizione rapida:

Definizione

Si definisce massa ridotta di un sistema a due punti:

$\mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

Detto questo, otteniamo infine:

${\vec {f}}=\mu {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}$

Questa conclusione è importante: il problema di due punti in mutua interazione può essere ridotto a un solo corpo avente come massa la massa ridotta. Questa conclusione riguarda tutti i casi di mutua interazione.