Meccanica dei sistemi di punti e corpi rigidi/Sistema di riferimento del centro di massa

Nello studio della dinamica dei sistemi di punti è spesso utile considerare il sistema di riferimento del centro di massa. Un tale sistema di riferimento ha queste caratteristiche:

• l'origine degli assi si trova nel centro di massa;
• gli assi sono sempre paralleli rispetto a quelli di un sistema di riferimento inerziale;
• non è in generale un sistema inerziale, poiché in generale non è nulla la risultante delle forze esterne agenti sul sistema.

Indicando con un apice le grandezze riferite al sistema di riferimento del centro di massa possiamo scrivere per ogni punto

${\vec {r}}_{i}={\vec {r}}'_{i}+{\vec {r}}_{cm}$

dove ${\vec {r}}_{i}$ è il raggio vettore che identifica la posizione dell'i-esimo punto rispetto a un sistema di riferimento inerziale e ${\vec {r}}_{cm}$ è il vettore che unisce le origini dei due sistemi di riferimento. Dal teorema delle velocità relative con $\omega =0$ abbiamo che

${\vec {v}}_{i}={\vec {v}}'_{i}+{\vec {v}}_{cm}$

Poiché abbiamo assunto il centro di massa come riferimento valgono le relazioni

${\vec {r}}'_{cm}=0,\quad {\vec {v}}'_{cm}=0$

da cui

$\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}=0$

ovvero la quantità di moto del sistema, somma delle quantità di moto dei singoli punti, è nulla se viene calcolata nel sistema di riferimento del centro di massa.

Facciamo ora alcune considerazioni energetiche. L'energia cinetica del sistema così come è misurata nel sistema di riferimento inerziale è:

$E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}v_{i}^{2}$

che possiamo scrivere come

$E_{k}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}\left({\vec {v}}'_{i}+{\vec {v}}_{cm}\right)^{2}=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\vec {v}}_{i}^{'2}+\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\vec {v}}_{cm}^{2}+\sum _{i}m_{i}{\vec {v}}'_{i}{\vec {v}}_{cm}$

Il primo termine rappresenta l'energia cinetica del sistema di punti così come è misurata nel sistema di riferimento del centro di massa, il secondo termine è l'energia cinetica del centro di massa, misurata nel sistema di riferimento inerziale, e infine l'ultimo termine è nullo, in quanto sappiamo che la quantità di moto del sistema misurata nel sistema del centro di massa è nulla. In definitiva possiamo scrivere

$E_{k}=E'_{k}+{\frac {1}{2}}M{v}_{cm}^{2}$

che rappresenta il teorema di König per l'energia cinetica. L'energia cinetica di un sistema di punti materiali è uguale alla somma dell'energia cinetica del sistema misurata nel sistema di riferimento del centro di massa più l'energia cinetica del centro di massa stesso, misurata nel sistema inerziale.